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2、理、积分中值定理2、对连续函数性质的考查3、罗尔定理的使用4、辅助函数的构造5、双中值问题【重难点】1、各类中值定理证明题型的证明思路和技巧中公考研，让考研变得简单！查看更多考研数学辅导资料点这里，看更多数学资料Ⅱ知识点回顾一．连续函数的性质1．最值定理设函数f(x)在[a,b]上连续，则f(x)在[a,b]上能够取到最大值与最小值，即??,??[a,b],使得f(?)?max{f(x)},f(?)?min{f(x)}a?x?ba?x?b2．介值定理设函数f(x)在[a,b]上连续，M和m分别为f(x)在[a,b]上
3、的最大值与最小值，若c满足m?c?M,则???[a,b],使得f(?)?c3．零点存在定理设函数f(x)在[a,b]上连续，且f(a)f(b)?0，则???(a,b),使得f(?)?0。二．微分中值定理1．罗尔定理如果函数f(x)满足：（1）在闭区间[a,b]上连续；（2）在开区间(a,b)上可导；（3）在区间端点处的函数值相等，即f(a)?f(b)；那么在(a,b)内至少存在一点?(a???b)，使得f'(?)?0。2．拉格朗日中值定理如果函数f(x)满足（1）在闭区间[a,b]上连续；（2）在开区间(a,
4、b)上可导；那么在(a,b)内至少存在一点?(a???b)，使得f'(?)?f(b)?f(a)。b?a中公考研，让考研变得简单！查看更多考研数学辅导资料点这里，看更多数学资料3．柯西中值定理如果函数f(x)和g(x)满足（1）在闭区间[a,b]上连续；（2）在开区间(a,b)上可导；（3）对任意的x?(a,b)，g'(x)?0；那么在(a,b)内至少存在一点?(a???b)，使得f'(?)f(b)?f(a)?g'(?)g(b)?g(a)三．积分中值定理：设函数f(x)在区间[a,b]上
5、连续，则在积分区间[a,b]上至少存在一点?使得下式成立：?Ⅲ考点精讲baf(x)dx?f(?)(b?a)一．对连续函数性质的考查【例1】：f(x)在[0,1]上连续，满足对任意x?[0,1]有f(x)?(0,1)，证明：???(0,1)使f(?)??【例2】：f(x)在[a,b]上连续，a?x1?x2???xn?b，证明：?c1,c2?cn?0，????x1,xn?，使f????c1f?x1??...?cnf?xn?c1?...?cn?)?A，●小结：本题的重要意义：（1）方法上，要证明???[a,b],使得f(则
6、首先设出f?x?在[a,b]上的最值m,M，再证明A?[m,M]即可（2）结论上，本题的结论对?c1,c2?cn?0都是成立的，特别的当ci?1时的结论，即f?x1??...?f?xn??nf(?),??[x1,xn]，该结论要记住，在微分中值定理的相关证明中可以直接应用。【例3】：f(x),g(x)均在?a,b?上连续，g(x)?0,x??a,b?证明：????a,b?，使得中公考研，让考研变得简单！查看更多考研数学辅导资料点这里，看更多数学资料f????g(x)dx??f(x)g(x)dxaabb二．罗尔定理的使
7、用【例4】：设函数f(x)在?0,3?上连续，在(0,3)上可导，且f(0)?f(1)?f(2)?3,f(3)?1。试证明：必存在??(0,3)，使得f'(?)?0【例5】：设函数f?x?在闭区间[0,3]上连续,在开区间(0,3)内二阶可导,且2f(0)??f(x)dx?f?2??f?3?02（1）证明存在??(0,2),使得f(?)?f(0)（2）证明存在????0,3?使得f''????0【例6】：设f?x?在区间?a,b?上具有二阶导数，且f?a??f?b??0,f'?a??f
8、'?b??0试证明：存在???a,b?和???a,b?，使f????0，及f''????0.●小结：本题用到的理论知识有：1.零点定理：设函数f(x)在闭区间[a,b]上连续,且f(a)与f(b)异号(即f(a)?f(b)?0),那么在开区间(a,b)内至少有一点?,使f(?)?0.2．函数极限的局部保号性定理：如果li
