3、和最大值M至少有一个在开区间(a,b)内部取得，不妨设f(ξ)=M，ξ∈(a,b).由条件(2)和费马定理推知f(ξ)=0.罗尔定理的几何意义：如果连续函数除两个端点外处处有不垂直于x轴的切线，并且两端点处纵坐标相等，那么在曲线上至少存在一点，在该点处的切线平行于x轴(如下图）。1.罗尔定理中的ξ是(a,b)内的某一点，定理仅从理论上指出了它的存在性，而没有给出它的具体取值；2.罗尔定理的条件是充分非必要条件，只要三个条件均满足，就充分保证结论成立。但如果三个条件不全满足，则定理的结论可能成立也可能不成立。看如下例子：两点说明：例连续内
4、可导连续内可导例连续内可导例1验证罗尔中值定理对函数f(x)=x3+4x2-7x-10在区间[-1,2]上的正确性，并求出．解得令f(x)=3x2+8x-7=0（1）f(x)=x3+4x2-7x-10在区间[-1,2]上连续；（2）f(x)=3x2+8x-7在（-1,2）内存在；（3）f(-1)=f(2)=0；所以f(x)满足定理的三个条件.则就是要找的点，显然有f(ξ)=0.解例2证明方程x5-5x+1=0有且仅有一个小于1的正实根．存在性：令f(x)=x5-5x+1，则f(x)在[0,1]上连续f(0)=1，f(1)=-3，由介
5、值定理：至少存在一点x0∈(0,1),使f(x0)=0，x0即为方程的小于1的正实根.唯一性：设另有x1∈(0,1),x1≠x0,使f(x1)=0因为f(x)在x1，x0之间满足罗尔定理的条件所以至少存在一点ξ(在x1，x0之间),使得f(ξ)=0但f(x)=5x4-5<0,x∈(0,1),矛盾,所以为唯一实根.证明例3不求函数f(x)=(x-1)(x-2)(x-3)的导数，说明方程f(x)=0有几个实根．函数f(x)在R上可导,所以在区间[1,2],[2,3]上满足罗尔定理的条件,所以在区间（1,2)（2,3)内分别至少有一实根；又
6、f(x)=0是二次方程,至多有二个实根；所以方程f(x)=0有且仅有两个实根,它们分别落在区间（1,2)（2,3)内．解定理3.1.2（拉格朗日中值定理）设函数y=f(x)满足（1）在闭区间[a，b]上连续；（2）在开区间（a，b）内可导；那么在(a，b)内至少存在一点(a<7、，同时想办法接近要证明的结论.则函数j(x)在区间[ab]上满足罗尔定理的条件(1)(2)又作辅助函数所以，由罗尔中值定理，在(a,b)内至少存在一点,使即f(a)-f(b)=f()(b-a)定理的证明拉格朗日中值公式又称有限增量公式.1.拉格朗日中值定理的两个条件是使结论成立的充分不必要条件；2.当f(a)=f(b)时，拉格朗日中值定理即为罗尔中值定理；3.设f(x)在[a,b]上连续，在(a,b)内可导,x0,x0+x∈(a,b)则有几点说明：拉格朗日定理的几何意义：当曲线方程满足拉格朗日定理的要求时，在区间内至少存在一点
8、，使得该点的切线平行于曲线两端点(a,f(a))与(b,f(b))的连线，其斜率为推论1设y=f(x)在[a,b]上连续，若在(a,b)内的导数恒为零，则在[a,b]上f(x)为
