高等数学-中值定理.ppt

《高等数学-中值定理.ppt》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。

1、第三章中值定理与导数的应用第一节中值定理知识回顾：1.若函数f(x)在点x0可导，则2.函数f(x)在点x0可导的充要条件是f(x)在点x0的左右导数均存在且相等。y=f(x)一、费马引理且在x0点可导，若对任意x∈U(x0)有f(x)≤f(x0)，则设函数f(x)在点的某邻域U(x0)内有定义，f(x)≥f(x0)，证明：对任意x∈U(x0)由f(x)≤f(x0)得f(x)－f(x0)≤0由f(x)在x0处可导，知当xx0时，，，由f(x)－f(x0)≤0费马引理f(x)在x0点可导，对任意x∈U(x0)有f(x)≤f(x0)，则注：若x0∈(a,

2、b),f(x)在x0可导，在区间(a,b)内f(x)≤f(x0)则推论：若x0∈(a,b),f(x)在x0可导，在区间(a,b)内的最大值为f(x0)则最小值罗尔定理若函数f(x)满足(1)在闭区间[a,b]上连续(2)在开区间(a,b)内可导(3)f(a)=f(b)则在(a,b)内至少存在一点ξ,使二、罗尔(Rolle)定理AB(几何解释）罗尔定理若函数f(x)满足：(1)在[a,b]上连续；(2)在(a,b)内可导；(3)f(a)=f(b)，则至少存在一点，使得.例1证明方程x5－5x＋1=0有且仅有一个小于1的正实根证设f(x)=x5－5x＋1,则f(x)在[

3、0,1]上连续且f(0)=1，f(1)=－3由零点定理：至少存在一点x0∈(0,1)使故方程x5－5x＋1=0有小于1的正实根.罗尔定理若函数f(x)满足：(1)在[a,b]上连续；(2)在(a,b)内可导；(3)f(a)=f(b)，则至少存在一点，使得.设方程x5－5x＋1=0另有一个小于1的正实根x1得f(x1)=0因f(x)=x5－5x＋1在[x0,x1](或[x1,x0])上可导，且f(x0)=f(x1)在x0与x1之间至少存在一点ξ，使而在(0,1)内矛盾，故方程x5－5x＋1=0有且仅有一个小于1的正实根罗尔定理若函数f(x)满足：(1)在[a,b]上连

4、续；(2)在(a,b)内可导；(3)f(a)=f(b)，则至少存在一点，使得.例2设f(x)在[0,1]上连续，在(0,1)内可导，且f(1)＝0，证明至少存在一点使证设F(x)=xf(x)因为f(x)在[0,1]上连续，在(0,1)内可导，所以F(x)在[0,1]上连续，在(0,1)内可导，又F(0)=0，F(1)=1·f(1)＝0由罗尔定理：至少存在一点使即练习设函数f(x)在上可导，且0

5、(b)=tanb则F(b)=f(b)－tanb=0=F(a)∵函数f(x)在上可导，由罗尔定理：至少存在一点使与在内矛盾，故在内有且仅有一个x,使f(x)=tanx注意:若罗尔定理的三个条件中有一个不满足,y=f(x)y=f(x)y=f(x)其结论可能不成立。三、拉格朗日(Lagrange)中值定理拉格朗日定理若函数f(x)满足:(1)在闭区间[a,b]上连续,(2)在开区间(a,b)内可导,则至少存在一点ξ∈(a,b)，使f(b)－f(a)(几何解释)拉格朗日中值公式拉格朗日中值定理若f(x)满足：(1)在[a,b]上连续；(2)在(a,b)内可导；则至少存在一点

6、，使得.拉格朗日中值定理结论的其它表示形式:①②③推论若函数f(x)在闭区间[a,b]上连续,在(a,b)内恒有则函数f(x)在[a,b]上是一个常数.证则f(x)在[x1,x2]连续,(x1,x2)内可导;至少存在一点使故则函数f(x)在[a,b]上是常数.拉格朗日定理函数f(x)满足：(1)[a,b]上连续；(2)(a,b)内可导；则使得f(b)－f(a)例4证明当x>0时,证:设f(t)＝ln(1+t)在[0,x]上应用拉格朗日定理得:f(x)－f(0)即:ln(1+x)＝因为1<1+ξ<1+x,所以，有，若函数g(x)与f(x)满足：(1)在[a,b]上连续

7、；(2)在(a,b)内可导；则至少存在一点，使得(3)四、柯西(Cauchy)中值定理罗尔定理函数f(x)满足：(1)[a,b]上连续；(2)(a,b)内可导；(3)f(a)=f(b)，则使得拉格朗日定理函数f(x)满足：(1)[a,b]上连续；(2)(a,b)内可导；则使得柯西定理函数f(x),g(x)(1)[a,b]上连续；(2)(a,b)内可导；且则使得若g(x)=x，若f(b)=f(a)A几何解释：B连续曲线AB,若除端点外，处处有不垂直于x轴切线，则该曲线上至少有一点的切线平行于端点连线AB。