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1、西南交通大学数值分析题库用复化梯形公式计算积分要把区间［0,1］-•般要等分41份才能保证满足谋差小于0.00005的要求(这里廿⑵(x)L<1)；如果知道/(2)(%)>0,则在以(g(x)9f(x))=用复化梯形公式计算积分此实际值一人(大,小)。9g(x)eC[0,l]为内积的空间C[0,l]2中，与非零常数正交的最高项系数为1的-次多项式是_3.(15分)导出用Euler法求解的公式，并证明它收敛于初值问题的梢确解y(o)=1解Eu1er公式儿=九.]+力九)仁[山=1,L/,/?=—(5分)n儿=(1+/2九)y“=L=(1+/认$>?0(10分)(：丫、儿=(1+
2、M)l1+仝(hT0)心二〒［/(d)+/(")］=⑴托+号几字)=若用复化梯形求积公式计算积分I=exdx区间「0.11应分2129等分,即要计算个2130点的函数值才能使截断课爰不超过丄xlO7；若改用复化Simpson2公式，要达到同样粹度区间［0,1］应分马等分，即要计算个25点的函数值1.用Romberg法计算积分[e~xdx9.219524346410430E-0035.574989241319070E-0033.360144206288616E-0034.499817148069681E-0034.126845266588636E-0034.1414264503
3、19885E-0034.220146327817699E-0034.126922721067038E-003_16S22-52i_154.125955805783515E-0034.125941687358037E-0032.用复合Simpson公式计算积分(n二5)h4解s5=~/⑷+4工/(。h+—+k=o2W?)+2^/(«+W?)+/(&),hk=b-a"T"55=4.126352633630653E-003b”3、对于n+1个节点的插值求积公式]f(x)dxu工4‘/(耳)至少具有卫次代数精度.〃nn4、插值型求积公式f(x)dx^YAJ(xk)的求积系数Z和工
4、役Zbzaak=0k=0IfJ15、证明定积分近似计算的抛物线公式f(d)+4f(叱)+f(b)J22a1-」具有三次代数精度证明如果具有4阶导数，则b——5"⑴力-牛/⑷+仃(¥)+/0)二一哙Jf⑷(⑴(ne[a,b])LL2880/⑷+4/(字)+他=0bt因此对不超过3次的多项式f(x)有f(x)dx-一—a01.J即]7(兀)力=匕/⑷+4/(J)+/(b)精确成立,对任一4次的多项式f(x)冇au」bjf(x)dx£a一张)+5于)+他因此定积分近似计算的抛物线公式具有三次代数和度或直接用定义证.6、试确定常数A,B,C和d,使得数值积分公式£Mx)dxuAf
5、(-a)+昭0)+Cf(a)有尽可能高的代数精度。试问所得的数值积分公式代数精度是多少？它是否为Gauss型？解1得A+B+C=4ill/(x)=x得.a4+aC—0rhf(x)=x2得a2A+a2C=号由f(x)=x3得・a3A+a3C=0由/'(x)=兀4得+a4C=—可得A=C=—,B=—,a=599V5代数精度是5,是Gauss型积分公式7.1)设(P/t(x)｝是［0,1］区间上带权p(x)=x的最高次项系数为1的正交多项式系，求2)构造如下的Gauss型求积公式{xf(x)dx«A)/(xo)+A/(xi)(1)/o(X)=1,片(x)=X-(兀必⑴)恥),坨⑴)
6、X,儿⑴)恥)恥))心⑴)(耳⑴,片⑴)恥)C?,佗⑴)=x3dx=(〃(兀)，佗⑴)二卜心扌站⑴，/>(%))=fx(x-
7、)2rfx=^w336(x2,/J(x))=(/(兀一■
8、)dx=^2_io(2)P2(x)=x2}+訥两零财X0=害，州=害(即Gauss点)9+V636Gauss型求积公式(灯⑴dxubE/(上込)+羽卫^6+76)“361036108丿IJ复合Simpson公式计算：jsinxdxo要使误差小于0.005,求积区间［0,n］应分多少个子区间？并用复合Simpson公式求此积分值。解复合Simpson公式计算的误差为Rn(f)=力°/")(〃)，"
9、［a，b］2880因此只要-<0.005即可.得n>2.147,1R/i=32880“丿53=2.00086329试述何谓Gauss型求积公式。如下求积公式：卩(对心”(-1)+訂(0)+”(1)是否是Gauss型求积公式？Gauss型求积公式是否稳定？是否收敛？(假定f(x)在积分区间上连续)解把用［a,b］上的n+1个节点(互不相同的)勺(k=0,l,…,n)而使数值求积公式Qn(f)=J；Akf(xk)k=()的代数精确度达到2n+l,称为Gauss型求积公式求积公式”(_1)+扌/(o)+”(l
