数值积分与微分方程

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1、2.3数值积分2.3.1一元函数的数值积分函数1quad、quadl、quad8功能数值定积分，自适应Simpleson积分法。格式q=quad(fun,a,b)%近似地从a到b计算函数fun的数值积分，误差为10-6。若给fun输入向量x，应返回向量y，即fun是一单值函数。q=quad(fun,a,b,tol)%用指定的绝对误差tol代替缺省误差。tol越大，函数计算的次数越少，速度越快，但结果精度变小。q=quad(fun,a,b,tol,trace,p1,p2,…)%将可选参数p1,p2

2、,…等传递给函数fun(x,p1,p2,…)，再作数值积分。若tol=[]或trace=[]，则用缺省值进行计算。[q,n]=quad(fun,a,b,…)%同时返回函数计算的次数n…=quadl(fun,a,b,…)%用高精度进行计算，效率可能比quad更好。…=quad8(fun,a,b,…)%该命令是将废弃的命令，用quadl代替。例2-40>>fun=inline(‘3*x.^2./(x.^3-2*x.^2+3)’);equivalentto:functiony=funn(x)y=3*x

3、.^2./(x.^3-2*x.^2+3);>>Q1=quad(fun,0,2)>>Q2=quadl(fun,0,2)计算结果为：Q1=3.7224Q2=3.7224补充：复化simpson积分法程序程序名称Simpson.m调用格式I=Simpson('f_name',a,b,n)程序功能用复化Simpson公式求定积分值输入变量f_name为用户自己编写给定函数的M函数而命名的程序文件名a为积分下限b为积分上限n为积分区间划分成小区间的等份数输出变量I为定积分值程序functionI=simp

4、son(f_name,a,b,n)h=(b-a)/n;x=a+(0:n)*h;f=feval(f_name,x);N=length(f)-1;ifN==1fprintf('Datahasonlyoneinterval')return;endifN==2I=h/3*(f(1)+4*f(2)+f(3));return;endifN==3I=3/8*h*(f(1)+3*f(2)+3*f(3)+f(4));return;endI=0;if2*floor(N/2)==NI=h/3*(2*f(N-2)+2*

5、f(N-1)+4*f(N)+f(N+1));m=N-3;elsem=N;endI=I+(h/3)*(f(1)+4*sum(f(2:2:m))+2*f(m+1));ifm>2I=I+(h/3)*2*sum(f(3:2:m));end例题求。解先编制的M函数。程序文件命名为sin_x.m。functiony=sin_x(x)y=sin(x)将区间4等份，调用格式为I=Simpson(’sin_x’,0,pi,4)计算结果为y=00.70711.00000.70710.0000I=2.0046将区间2

6、0等份，调用格式为I=Simpson(’sin_x’,0,pi,20)计算结果为y=00.15640.30900.45400.58780.70710.80900.89100.95110.98771.00000.98770.95110.89100.80900.70710.58780.45400.30900.15640.0000I=2.0000重做上例2—40：simpson('funn',0,2,100)函数2trapz功能梯形法数值积分格式T=trapz(Y)%用等距梯形法近似计算Y的积分。若Y

7、是一向量，则trapz(Y)为Y的积分；若Y是一矩阵，则trapz(Y)为Y的每一列的积分；若Y是一多维阵列，则trapz(Y)沿着Y的第一个非单元集的方向进行计算。T=trapz(X,Y)%用梯形法计算Y在X点上的积分。若X为一列向量，Y为矩阵，且size(Y,1)=length(X)，则trapz(X,Y)通过Y的第一个非单元集方向进行计算。T=trapz(…,dim)%沿着dim指定的方向对Y进行积分。若参量中包含X，则应有length(X)=size(Y,dim)。例2-41>>X=-1

8、:.1:1;>>Y=1./(1+25*X.^2);>>T=trapz(X,Y)计算结果为：T=0.5492补充：复化梯形积分法程序程序名称Trapezd.m调用格式I=Trapezd('f_name',a,b,n)程序功能用复化梯形公式求定积分值输入变量f_name为用户自己编写给定函数的M函数而命名的程序文件名a为积分下限b为积分上限n为积分区间划分成小区间的等份数输出变量I为定积分值程序functionI=Trapezd(f_name,a,b,n)h=(b-a)/n;x=a+(0:n)*h;