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1、西南交通大学数值分析题库用复化梯形公式计算积分,要把区间[0,1]一般要等分41份才能保证满足误差小于0.00005的要求（这里）；如果知道，则用复化梯形公式计算积分此实际值大(大，小)。在以为内积的空间C[0,1]中，与非零常数正交的最高项系数为1的一次多项式是3.(15分)导出用Euler法求解的公式,并证明它收敛于初值问题的精确解解Euler公式-----------(5分)-------------------(10分)若用复化梯形求积公式计算积分区间应分2129等分，即要计算个2130点的函数值才
2、能使截断误差不超过；若改用复化Simpson公式，要达到同样精度区间应分12等分，即要计算个25点的函数值1．用Romberg法计算积分解9.219524346410430E-0035.574989241319070E-0034.360144206288616E-0034.499817148069681E-0034.141426450319885E-0034.126845266588636E-0034.220146327817699E-0034.126922721067038E-0034.125955805
3、783515E-0034.125941687358037E-0032．用复合Simpson公式计算积分(n=5)解=4.126352633630653E-0033、对于n+1个节点的插值求积公式至少具有n次代数精度.4、插值型求积公式的求积系数之和=b-a5、 证明定积分近似计算的抛物线公式具有三次代数精度证明如果具有4阶导数,则=(hÎ[a,b])因此对不超过3次的多项式f(x)有即精确成立,对任一4次的多项式f(x)有因此定积分近似计算的抛物线公式具有三次代数精度或直接用定义证.6、试确定常数A，B，C
4、和，使得数值积分公式有尽可能高的代数精度。试问所得的数值积分公式代数精度是多少？它是否为Gauss型？解由得由得由得由得由得可得代数精度是5,是Gauss型积分公式7．1）设是[0,1]区间上带权的最高次项系数为1的正交多项式系，求2）构造如下的Gauss型求积公式解(1),(2)的两零点为(即Gauss点)Gauss型求积公式8用复合Simpson公式计算：要使误差小于0.005，求积区间[0,π]应分多少个子区间？并用复合Simpson公式求此积分值。解复合Simpson公式计算的误差为，hÎ[a，b]
5、因此只要即可.得,取9试述何谓Gauss型求积公式。如下求积公式：是否是Gauss型求积公式？Gauss型求积公式是否稳定？是否收敛？(假定f(x)在积分区间上连续)解把用[a，b]上的n+1个节点（互不相同的）(k=0,1,…,n)而使数值求积公式的代数精确度达到2n+1，称为Gauss型求积公式求积公式因此式的代数精确度为3，所以不是Gauss型求积公式。Gauss型求积公式是稳定的，也是收敛的。10．试述何谓Gauss型求积公式。并证明：⑴Gauss型求积公式的系数(这里是权函数)⑵其中C是常数(要求
6、写出C的表达式)。解把用[a，b]上的n+1个节点（互不相同的）(k=0,1,…,n)而使数值求积公式的代数精确度达到2n+1，称为Gauss型求积公式(1)是Gauss型求积公式，因此如果是不超过2n+1次的多项式两边应该完全相等，取则(2)是Gauss型求积公式，因此代数精确度达到2n+1,因此如果是不超过2n+1次的多项式两边应该完全相等，取得11．证明：（1）Newton-Cotes系数满足如下等式：(2）设，分别表示把区间[a,b]n,2n等分后复化梯形公式计算积分，表示把区间[a,b]n等分后复
7、化Simpson公式计算积分。证明下式成立：证明(1)因为Newton-Cotes求积公式为，其中而Newton-Cotes系数满足因，故.(2)因又因整理即可得12、若用复化梯形求积公式计算积分区间应分2129等分，即要计算个2130点的函数值才能使截断误差不超过；若改用复化Simpson公式，要达到同样精度区间应分12等分，即要计算个25点的函数值。13．证明(=0,1,…,n)是插值型求积公式的高斯点的充分必要条件是:多项式与任意次数不超过n的多项式关于权函数正交且高斯系数.其中为关于节点的拉格朗日插
8、值基函数。证明:必要性，设节点使求积公式成为Gauss型求积公式，则它的代数精度应具有2n+1，故对任意次数不超过n次的多项式P(x)有：是次数不超过2n+1的多项式，从而，即必要性成立。充分性：因为n+1个节点的插值型求积公式代数精度至少有n，如果取f(x)是任一次数不超过2n+1的多项式，则f(x)=，其中P(x)是次数不超过n次的多项式，r(x)是次数不大于n的多项式，因与任一次数不超过n次的多项式正交，从
