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1、习题12-21.求下列微分方程的通解:(1)xy¢-ylny=0;解分离变量得,两边积分得,即ln(lny)=lnx+lnC,故通解为y=eCx.(2)3x2+5x-5y¢=0;解分离变量得5dy=(3x2+5x)dx,两边积分得,即,故通解为,其中为任意常数.(3);解分离变量得,两边积分得即arcsiny=arcsinx+C,故通解为y=sin(arcsinx+C).(4)y¢-xy¢=a(y2+y¢);解方程变形为(1-x-a)y¢=ay2,分离变量得,两边积分得,即,故通解为,其中C=aC1为任意常数.(5)sec2xtanydx+
2、sec2ytanxdy=0;解分离变量得,两边积分得,即ln(tany)=-ln(tanx)+lnC,故通解为tanxtany=C.(6);解分离变量得10-ydy=10xdx,两边积分得,即,或10-y=10x+C,故通解为y=-lg(C-10x).(7)(ex+y-ex)dx+(ex+y+ey)dy=0;解方程变形为ey(ex+1)dy=ex(1-ey)dx,分离变量得,两边积分得,即-ln(ey)=ln(ex+1)-lnC,故通解为(ex+1)(ey-1)=C.(8)cosxsinydx+sinxcosydy=0;解分离变量得,两边积
3、分得,即ln(siny)=-ln(sinx)+lnC,故通解为sinxsiny=C.(9);解分离变量得(y+1)2dy=-x3dx,两边积分得,即,故通解为4(y+1)3+3x4=C(C=12C1).(10)ydx+(x2-4x)dy=0.解分离变量得,两边积分得,即lny4=lnx-ln(4-x)+lnC,故通解为y4(4-x)=Cx.44442.求下列微分方程满足所给初始条件的特解:(1)y¢=e2x-y,y
4、x=0=0;解分离变量得eydy=e2xdx,两边积分得,即,或.由y
5、x=0=0得,,所以特解.(2)cosxsinydy=
6、cosysinxdx,;解分离变量得tanydy=tanxdx,两边积分得,即-ln(cosy)=-ln(cosx)-lnC,或cosy=Ccosx.由得,,所以特解为.(3)y¢sinx=ylny,;解分离变量得,两边积分得,即,或.由得,C=1,所以特解为.(4)cosydx+(1+e-x)sinydy=0,;解分离变量得,两边积分得,即ln
7、cosy
8、=ln(ex+1)+ln
9、C
10、,或cosy=C(ex+1).由得,,所以特解为.(5)xdy+2ydx=0,y
11、x=2=1.解分离变量得,两边积分得,即lny=-2lnx+lnC,或y=
12、Cx-2.由y
13、x=2=1得C×2-2=1,C=4,所以特解为.3.有一盛满了水的圆锥形漏漏斗,高为10cm,顶角为60°,漏斗下面有面积为0.5cm2的孔,求水面高度变化的规律及流完所需的时间.解设t时该已流出的水的体积为V,高度为x,则由水力学有,即.又因为,故,从而,即,因此.又因为当t=0时,x=10,所以,故水从小孔流出的规律为.令x=0,得水流完所需时间约为10s.4.质量为1g(克)的质点受外力作用作直线运动,这外力和时间成正比,和质点运动的速度成反比.在t=10s时,速度等于50cm/s,外力为4gcm/s2,问从运动开始经
14、过了一分钟后的速度是多少？解已知,并且法t=10s时,v=50cm/s,F=4gcm/s2,故,从而k=20,因此.又由牛顿定律,F=ma,即,故vdv=20tdt.这就是速度与时间应满足的微分方程.解之得,即.由初始条件有,C=250.因此.当t=60s时,.5.镭的衰变有如下的规律:镭的衰变速度与它的现存量R成正比.由经验材料得知,镭经过1600年后,只余原始量R0的一半.试求镭的量R与时间t的函数关系.解由题设知,,即,两边积分得lnR=-lt+C1,从而.因为当t=0时,R=R0,故R0=Ce0=C,即R=R0e-lt.又由于当t=
15、1600时,,故,从而.因此.6.一曲线通过点(2,3),它在两坐标轴间的任一切线线段均被切点所平分,求这曲线方程.解设切点为P(x,y),则切线在x轴,y轴的截距分别为2x,2y,切线斜率为,故曲线满足微分方程:,即,从而lny+lnx=lnC,xy=C.因为曲线经过点(2,3),所以C=2´3=6,曲线方程为xy=6.7.小船从河边点O处出发驶向对岸(两岸为平行直线).设船速为a,船行方向始终与河岸垂直,又设河宽为h,河中任一点处的水流速度与该点到两岸距离的乘积成正比(比例系数为k).求小船的航行路线.解建立坐标系如图.设t时刻船的位置
16、为(x,y),此时水速为,故dx=ky(h-y)dt.又由已知,y=at,代入上式得dx=kat(h-at)dt,积分得.由初始条件x
17、t=0=0,得C=0,故.因此船运动路线的
