《微分方程知识》word版

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1、第二章一阶微分方程的初等解法研究对象一阶微分方程与的求解问题1变量可分离方程形如的方程，称为变量可分离方程，其中和分别是的连续函数。1）变量可分离方程的解法对于变量分离方程，分离变量得，再积分，得，这就是方程的通解。注意：在变量分离的过程中，必须保证。但如果有根为，则不难验证也是微分方程的解，有时无论怎样扩充通解的表达式中的任意常数，此解不包含在其中，解题时要另外补充上，不能遗漏。2）可化为可分离变量的方程齐次方程，令，方程可化为分离变量的方程，。分式线性方程下面分三种情形来讨论：ⅰ），这时为齐次方程。ⅱ）及，这时可作变换

2、，其中是线性代数方程的唯一解，可将方程化为齐次方程。ⅲ）及，这时可设，方程可化为，再令，则方程可进一步化为，这是一个变量可分离方程。其它类型的方程利用整体代换的思想，可将其他类型的方程化为变量可分离方程。例如，令；，令；，令；，令。2一阶线性微分方程形如的方程称为一阶线性方程，当时，称为一阶线性齐次方程，当不恒为零时，称为一阶线性非齐次方程。1)一阶线性方程的解法及其性质一阶线性方程的解法首先求其对应的线性齐次方程的通解：利用分离变量法可得其通解为，其中为任意常数，满足初始条件的解是。其次利用常数变易法求线性非齐次方程的通

3、解：将线性齐次方程通解中的任意常数变易为待定函数来求线性非齐次方程的通解，此方法称为常数变易法。可得通解为。满足初始条件的特解为。线性非齐次方程通解的结构为：线性非齐次方程的通解等于其对应线性齐次方程的通解与线性非齐次方程的一个特解之和。线性齐次方程解的性质性质1必有零解；性质2通解等于任意常数与一个非零特解的乘积；性质3若均为齐次方程的解，则也是该方程的解，其中为任意常数。线性非齐次方程解的性质性质1无零解，所有的解不能构成解空间；性质2若是齐次方程的解,是非齐次方程的解，则也是非齐次方程的解，其中为任意常数；性质3若均

4、为非齐次方程的解，则相应的齐次方程的解；性质4（叠加原理）若是的解,是的解，则是的解。2)可化为一阶线性方程的方程迫努利(Bernoulli)方程形如的方程（是常数），称为伯努利方程，其中和为的连续函数。迫努利方程的解法作变换可将原方程变为这是关于未知函数的线性方程，即可得到它的通解。黎卡提（Riccati）方程形如的方程，称为黎卡提方程，其中和为的连续函数。黎卡提方程的解法显然当，这就是迫努利方程。当不恒为零时，一般无法对它精确求解，但如果已知它的一个特解，则可通过变换，而得到一个关于的迫努利方程，从而可求出它的通解，因

5、此，求解黎卡提方程的关键是寻求它的一个特解。雅克比（Jacobi）方程形如的方程称为雅克比方程，其中是常数。雅可比方程的解法作变换，其中是使得为关于为齐次的。变换之后，方程变为一阶的，而且的系数是齐次的，因此这里如果的选择使得成立，则的系数也变成了齐次的，或更加对称的，如果，即就是因此由下面的三次方程定义这样定义之后，就是的任意两个相容方程的解。方程可以被写成以下形式作变换可将该方程化为迫努利方程，这里只是的函数。另外，如果关于的方程有三个不等的根，则雅可比方程的通解形式为其中关于线性表式。3一阶对称形式的微分方程若将一阶

6、显式微分方程写成微分形式（2.1）此形式称为一阶对称形式的微分方程。1）恰当方程如果对称形式的方程（2.1）的左端恰好是某一个二元函数的全微分，则称该方程为恰当方程。恰当方程的判定定理2.1假设函数和在某区域内连续可微，则方程（2.1）是恰当方程的充分必要条件是在此区域内恒有成立。恰当方程的解法方法1凑微分法利用熟知的二元函数微分公式，重新分组组合，分块凑成全微分式。方法2不定积分法利用关系式由此，函数应适合方程组，对关于积分得，两端关于求导数，并利用恰当方程的充分必要条件，得，通过对方程关于积分，解出，从而可得的表达式，

7、令，即得方程的通解。如果对关于积分，同理可得方程的通解为，其中可类似于求解的方法得到。方法3公式法方程的通解为：或，其中是任意常数。求解时，的选择要尽可能简单，且使有意义。注意：求解恰当方程的关键就是求方程左端微分式的原函数问题。2）非恰当方程积分因子及其性质对于方程（2.1），如果存在某连续可微的函数，使得为恰当方程，则称为方程（2.1）的一个积分因子。因此求解非恰当方程的关键是寻找合适的积分因子，从而将非恰当方程转化为恰当方程的求解问题。性质1只要方程（2.1）有解，则必有积分因子，而且不是唯一的，对于不同的积分因子，

8、通解可能具有不同的形式。性质2方程（2.1）的任意两个积分因子和之间必有函数关系。性质3若方程（2.1）有两个积分因子和,且，则该方程的通积分为；注意：方程两端同乘以积分因子可能出现使此因子为零的多余特解，注意检验。寻求积分因子的方法（1）观察法利用已知的或熟悉的微分式的原函数求积分因子。（2）公式法利