《微分方程模型》word版

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1、第二章微分方程模型建立微分方程模型就是把物理、化学、生物科学、工程科学和社会科学中的规律和原理用含有待定函数的导数或微分的数学关系式表示出来。这一章我们由浅入深地介绍一些微分方程模型。2.1简单模型例1物体在空气中的下落与特技跳伞问题假设质量为m的物体在空气中下落，空气阻力与物体的速度平方成正比，阻尼系数为k（>0）,求物体的运动规律。解所谓运动规律即下落距离与时间的关系，如图2.1.1,建立坐标系。设x为物体下落的距离，于是物体下落的速度为，加速度为，根据牛顿第二定律，可以列出微分方程,（2.1.1

2、）负号表示阻力方向与速度方向相反。例2单摆的自由振动问题。如图2.1.2为一个单摆，上端固定在O点，M为一质量为m的质点，摆杆OM之长为L（摆杆的质量忽略不计）。单摆的平衡位置为铅垂线。将质点M拉开，使OM与成一个角度，然后放手任其自由运动，试求摆杆OM和铅垂线的夹角与时间t的关系。解将重力分解为径向力F与切向力T，T的大小为，M的切向加速度为，于是，由牛顿第二定律，列出微分方程，即，（2.1.2）设初始时刻，摆杆的初始位置为，初始角速度为0，则单摆的运动规律的研究就化为微分方程的初值问题（2.1.3

3、）图2.1.1图2.1.2例3考古和地质学中文物和化石年代的测定问题。考古、地质学等方面的专家常用（碳14）来估计文物或化石的年代。它们的依据是，宇宙射线不断轰击大气层，使之产生中子，中子与氧气作用生成具有放射性的。这种放射性碳可以氧化成二氧化碳。二氧化碳被植物所吸收，而动物又以植物为食物，于是放射性碳就被带到各种动植物体内。由于是放射性的，无论存在于空气中或生物体内它都在不断衰变，活着的生物通过新陈代谢不断地摄取，使得生物体内的与空气中的有相同的百分含量。生物体死后它停止摄取，因而尸体内的由于不断衰

4、变而不断减少。碳定年代法就是根据的衰变减少量的变化情况来判定生物的死亡时间的。基本假设（1）现代生物体中的衰变速度与古代生物体中的衰变速度相同（依据是地球周围大气中的百分含量可认为基本不变，即宇宙射线照射大气层的强度自古至今基本不变）；（2）的衰变速度与该时刻的含量成正比（这条假设的根据来自于原子物理学理论）。下面用微分方程建模。设在时刻t（年）生物体中的存量为，由假设（2）知,（2.1.4）其k（>0）为衰变常数，负号表示的存量是随时间递减的。这个方程的通解是.(2.1.5)设生物体的死亡时间是t=

5、0，其时的含量为，代入（2.1.5）有.（2.1.6）设的半衰期（给定数量的蜕变到一半数量所用的时间）为T（常数），则有,（2.1.7）将式（2.1.7）代入（2.1.6），得,于是，解出t得.（2.1.8）由于不便测量，还可以用下列办法求t.对（2.1.5）两边求导，得,而.上面两式相除，得.代入（2.1.8）得。其中由假设（1），可用表示现代新砍伐树木的木炭中的中平均原子衰变数（可测得为38.37次/分），为测得的出土的木炭标本中的平均原子衰变数（比如1972年8月在长沙市出土的马王堆一号墓测得的

6、为29.78次/分）。若的半衰期为5568年（也有人测定是5580或5730年），则该墓的年代大约是（年）。2.2人口问题模型人口问题是一个复杂的生物学和社会学问题。用数学方法来研究它，主要是研究人口或其他生物总数以什么规律增加或减少的问题。令表示一个国家或地区在t时刻的人口总数，严格说来，是一个不连续的阶梯函数，但是一个人的增加或减少（出生或死亡）与全体人数相比极为微小，我们就把视为连续可微的函数，从而可以用微分方法来研究。设在时间间隔内人口的增长量为,（2.2.1）这里已经略去了高阶无穷小量.这个

7、增长量应该等于在此时间段内的出生数减去死亡数。设为出生率，为死亡率，且假设出生数与死亡数与人口总数及时间dt成正比，则有,即,（2.2.2）其中为人口净增长率。于是满足常微分方程.（2.2.3）又设已知初始时刻时人口总数为，就有初始条件.（2.2.4）不难求得常微分方程初值问题（2.2.3）和（2.2.4）的解为（设为常数）（2.2.5）即人口总数按指数增加，这就是Malthus人口模型。现在讨论问题本身的正确性。首先承认这个模型，式中可以根据人口普查的统计数字确定出来。就是某一年统计的人口总数，就是

8、每年人口的净增长率。可以看到这个规律在一个不太长的时间中使用，还是相当精确的；但是如果在一个相当长的时间中来考虑，出入就非常大。例如根据统计数字，取1961年为，当时全球人口总数为=30.6亿，而1951—1961年十年中每年人口的净增长率为=0.02，因此有.（2.2.6）将这个公式用于倒推计算在1700-1961年间的人口，和实际情况符合得较好。在这段时间内地球上人口约每35年增加一倍；而由上述方程，可以容易地证明人口增加一倍所用的时间是34.6年。