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1、第三章微分方程方法§3.1微分方程的一般理论微分方程是研究函数变化规律的有力工具,有着广泛的实际应用.针对所研究的对象建立微分方程模型是解决问题的第一步,实际中只有求出微分方程的解才能对所研究的问题进行解释说明.一般说来,求微分方程的解析解是困难的,大多数的微分方程需要用数值方法来求解,因此首先需要研究微分方程的解的存在惟一性和稳定性问题.3.1.1微分方程的一般形式一阶微分方程（3.1）其中是和的已知函数,为初始条件,又称定解条件.一阶微分方程组（3.2）又称为一阶正规方程组.如果引入向量则方程组（3.2）可以写为简单的形式（3.3）即与
2、方程（3.1）的形式相同,当时为方程（3.1）.对于任一高阶的微分方程如果记,则方程为,即可化为一阶方程组的形式.因此,下面主要对正规方程组（3.3）进行讨论.3.1.2微分方程解的存在惟一性正规方程组（3.3）的解在什么条件下存在,且惟一呢？有下面的定理.定理3.1（Cauchy-Peano）如果函数在上连续,则方程组（3.3）在上有解满足初值条件,此处.定理3.2如果函数在上连续,且满足利普希茨（Lipschitz）条件（即存在正常数使得,其中）,则方程组（3.3）满足初值条件的解是惟一的.定理证明略.3.1.3微分方程的稳定性问题在实
3、际问题中,微分方程所描述的是物质系统的运动规律,在用微分方程来研究这个物理过程中,人们只能考虑影响该过程的主要因素,而不得不忽略一些认为次要的因素,这种次要的因素通常称为干扰因素.这些干扰因素在实际中可以瞬时起作用,也可持续起作用.从数学上看,前者会引起初值条件的变化,而后者则会引起微分方程本身的变化.在实际问题中,干扰因素是客观存在的,由此可见,对于它的影响程度的研究是必要的,即初值条件或微分方程的微小变化是否也只引起对应解的微小变化？这就是微分方程的稳定性问题.这里仍以方程组（3.3）为例讨论.1.有限区间的稳定性如果在某个有限的区域内
4、连续,且对满足利普希茨条件,是方程组（3.3）的一个特解,则当充分接近于时,方程组（3.3）在上满足初值条件的解有,即对任意给定的,总存在相应的,当时,对一切有,此时称方程组（3.3）的解在有限区间上是稳定的.2.无限区间的稳定性如果是方程组（3.3）的一个特解,是方程组（3.3）满足初值条件的解.对任意给定的,总存在相应的,当时,对一切有,则称方程组（3.3）的解在无限区间上是稳定的.3.渐近稳定性如果方程组（3.3）解在无限区间上是稳定的,且存在,当时,有,则称是渐近稳定的,或称为局部渐近稳定的.4.经常扰动下的稳定性对于方程组（3.3
5、）,考虑相应的方程组,（3.4）这里的称为扰动函数.如果对任意给定的,总存在和,使当时有,则方程组（3.4）有满足初值条件的解,且当时有就说方程组（3.3）的特解在经常扰动下是稳定的.5.研究稳定性的方法实际中,要研究方程组（3.3）的解的稳定性问题,可以转化为研究方程的零解（平凡解）的稳定性问题.事实上:对于方程（3.3）的任一特解,只要令,则显然有,故方程组（3.3）变为（3.5）于是可知方程组（3.3）的解对应于方程组（3.5）为（平凡解）.因此,要研究方程组（3.3）的稳定性问题可转化为研究方程组（3.5）的平凡解的稳定性问题.如果
6、微分方程组的所有解都能简单地求出来,一个特解的稳定性问题并不难解决.然而,实际中这种情况太少了.因此,一般性的稳定性问题的研究是复杂的,通常的情况下都是针对具体问题做相应的研究.§3.2微分方程的平衡点及稳定性3.2.1微分方程的平衡点设有微分方程组（3.3）,对于,,在某个区域内连续,且满足解的存在惟一性条件.如果存在某个常数,使得,则称点为方程组（3.3）的平衡点（或奇点）,且称为方程组的平凡解（或奇解）.如果对所有可能初值条件,方程组（3.3）的解都满足,则称平衡点是稳定的（渐近稳定）；否则是不稳定的.实际中,判断平衡点的稳定性有两种
7、方法:间接方法和直接方法[3].间接方法:首先求出方程的解,然后利用定义来判断.直接方法:不用求方程的解直接来研究其稳定性.3.2.2一阶方程的平衡点及稳定性设有微分方程,其相应的平衡点为代数方程的实根.其稳定性可以用间接方法判断,下面说明直接方法.首先,将函数在点作一阶泰勒（Taylor）展开,即方程可以近似地表示为显然,也是该方程的一个平衡点,其稳定性主要取决于的符号,即下面结论:若,则平衡点是稳定的；若,则平衡点是不稳定的.3.2.3平面方程的平衡点及稳定性设平面方程组的一般形式为（3.6）则称代数方程组的实根,为平面方程组（3.6）
8、的平衡点,记为.如果对所有可能的初值条件方程的解为,满足,则称平衡点是稳定的；否则是不稳定的.也可以用直接方法讨论.将方程组（3.6）的右边的函数作一泰勒展开,即可表示为近似的线
