第33工程信号及其可测性分析

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1、3.3周期信号描述定义：满足x(/)=x(t+nT)巾=1、2、…(3-1)关系的信号称之为周期信号，由于每隔一定时间八周期信号又重复出现一次相同值，故时间厂称Z为周期信号的周期。周期信号乂可表示成x(t)=x(t4-n——)=x(t+——)(3-2)%fo式屮©)——角频率；齐——频率。正弦信号是最为简单的周期信号，常称为简谐信号，而工程中常见的周期性的方波、三角波和锯齿波等都称为非简谐周期信号。表3-1列出常见周期信号吋域波形及表达式，表3T中/为幅值，5为角频率，％为初相角。3.3.1周期信号的分解和频谱周期信号的频域特性分析借助于傅里叶级数这一工具来实现。1.狄里赫

2、利(Dirichlet)条件根据傅里叶级数理论，在有限区间上，任何可展开成傅里叶级数的周期函数必须满足狄里赫利条件，即①函数兀⑴在周期T区间上连续或只有有限个第一类间断点；②函数兀⑴只有有限个极值点；③函数收微。2.傅里叶三角级数如果满足狄里赫利条件，则班八口J展成傅里叶级数，即x(t)=a()+》(%cosnco^t+bnsmna)Qt)(3-3)n=l式中。(严+匸:兀⑴曲2pT/22兀“0=亍ao、Q”和久称为傅里叶系数，®称为基波角频率。将式(3-3)'I1同频率项加以合并，可得到(3-4)(3-5)nangrctg匸x(/)=Qo+zAnsin(；76y0/+&“

3、)/;=!x(/)=0()+工AncosSs+血)n=X=ASindn=&COS0〃bn=Ancos0n=-Ansin^w以上分析表明：满足狄里赫利条件的任何周期信号可分解成直流分量及许多简谐分量，且这些简谐分量的角频率必定是基波角频率的整数倍。通常把角频率为®的分量称为基波。频率为2现、3%…的分量，分别称为二次谐波、三次谐波等，幅值An和相位0〃与频率〃Q（）有关。将组成班/）的各频率谐波信号的三要素（即久、诚。、0〃）,用两张坐标图表示出来，以频率诚7®,）为横坐标，分别以幅值4和相位0”为纵坐标，那么观W称为信号幅频谱图，⑵称为相频谱图，两者统称为信号的三角级数频谱

4、图，简称“频谱”。从频谱图可清楚月•直观地看出周期信号的频率分量组成、各分量幅值及相位的大小。常见周期信号的频谱图见表3・1所列。例3-1求图3-4屮周期方波的傅里叶级数。图3-4周期方波-140=1解：取兀⑴的一个周期-],表达式为22TT——

5、—cos5如)兀35此余弦分量及周期方波频谱如图3-5所示。各次谐波分量的幅值分别以基波幅值4/兀的1/刃规律收敛。0/7A4因此457C

6、3en]5血0-43兀(a)17eo1一^477T图3・5周期方波的幅值频谱(a)余弦分歌郦值谱；(b)方波幅值谱。3.指数形式的傅里叶级数有广00；7=-00(3-8)其中^(^o)=y£"/We'wd/(3-9)上式中，/7为从・b到g的整数。式(3・9)也可写成X(Mo)=

7、X(/7Qo)

8、e""(3-10)同样可画岀指数形式表示的信号频谱，由于XS®)为复函数，所以常称这种频谱为复数频谱。例3-3试求例3-1中周期方波的复指数形

9、式的傅里叶级数。■KO解：x(r)=工X(Wo)e"®‘/7=—X>COS/?690/dZ+~^4~COSA?690/d/J+2sin(/77i)2.nn——sin——rm22.(_1)("-】)/2mtn=±1、±3、±5…n=±2、±4、±6•…0十81则x（/）=Z丄丄sin巴i如2图3-6为周期方波复数幅值X（nco^的频谱。加0_22A7r2z丄71It2丄23712/5兀■5eo-3(yos()0(oo3coo5e图3-6周期方波的复数幅值频谱比较图3-5与图3-6可发现：图3-5中每一条谱线代表一个分量的幅度，而图3・6中把每个分量的幅度一分为二，在正负频率

10、相对应的位置上各山一半，只有把正负频率上相对应的两条谱线矢量相加才能代表一个分量的幅度。需要说明的是，负频率项的出现完全是数学计算的结果，并没有任何物理意义。从上述分析可知，周期信号的频谱呈现以下特征：①离散性周期信号的频谱是离散谱，每一条谱线表示一个止弦分量；②谐波性周期信号的频率是由基频的整数倍组成的；③收敛性满足狄里赫利条件的周期信号，其谐波幅值总的趋势是随谐波频率的增大而减小。故由于周期信号的收敛性，在工程测量小没有必要取次数过高的谐波分量。3・3・2周期信号的可测性分析1.带宽图3-7周期矩形脉冲例3-3