第352工程信号及其可测性分析

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1、6.功率谱密度函数相关函数能在时域内表达信号或与其它信号在不同时刻的内在联系。由于随机信号不具备可积分条件，不能直接进行傅里叶变换，一般不做幅值谱和相位谱分析，引入了自功率谱密度函数来做谱分析。自相关函数满足绝对可积条件，称自相关函数的傅里叶变换为随机信号的自功率谱密度函数。即5,«o)=C^(T)e-JOTdT可得到心⑴二召QSg)e叫3(3-29)2兀同样也可定义两个随机信号Z间的互功率谱密度函数s*@)=匚心⑺严⑴Rxy(r)=舟匚S。(劲e叫❻(3-30)利用谱密度函数可定义相干函数，相干函数是在频谱内鉴别两信号相关程度的指标。可表示

2、为Sx(co)Sy(co)(3-31)例3・5设随机相位角余弦信号x(/)=4cos(如+0),式屮A、5为常数，&是在(0,2龙)上均匀分布的随机变量，其概率密度为八一，0<6><2p(0)=2兀0其它试求其口和关函数心⑺及其功率谱函数5X(⑺)。解：由口相关函数定义，有心.(T)=E[x(t)x(t+T)]=E{Acos[co0(r+t)+Q]acos(co0r+0)}=Jy-E[cos(O0T+COS(2(d0Z+(D0T+20)]=-y-COS(D0T可见，周期函数的自相关函数也是周期函数，冃具有相同的周期。由功率谱定义sg七re严a

3、=上^COS©往％仏=yA2[5(o)-(o0)+5(co+co0)因此，其功率谱为两个冲激函数。3.5.2随机信号的特征估计在工程测试屮，所遇的随机信号通常是无限长的，不可能在无限长时间内获得被测信号的准确情况，一•般只能用在有限的时间内得到的有限个个体样本根据经验來估计总体分布情况。用有限个样本的估计值來预测或推测被测对象的状态或参量的真值的问题就是所谓的估计问题。1.均值的估计1N-1n=0设兀⑷为平稳且各态历经离散随机信号｛兀⑺｝所观测的样木序列（兀⑺）为一有限长为N的序列），其均值的估计为(3-32)分析表明：当各样本互不相关时，均

4、值的估计f是无偏且为一致估计。2.方差的估计设均值的估计f已知，方差的估计为(3-35)［N-1貳=万工［兀5）一讦Nn=Q分析表明：方差估计是有偏的，但乂是渐进无偏的。3.相关函数的估计1）用冇限长（长度为N）的序列估计：若用一冇限长（长度为N）的序列(3-40)来估计离散信号序列兀⑺）的自相关函数时，有式（3-40）中求和的总项数只能是N_

5、”,因为如果取i=N_

6、”时,x（i+y）=x（N）,总t就超岀数据的t度N。可以证明上式算得的自相关函数的估计是无偏的。但当7的值接近于N吋，其方差变大，所以实际上不常采用。(3-41)2）工程计算

7、屮估计方法。用^A.rW=—工曲）应+力N翕E［心=九⑵表明所得的自相关函数的估计是有偏估计，而当"Too吋,lim4^（/）］=^（/）XX(3-42)有(3-43)NT8有上式（3・42）还口」以看出：越人，偏差越人。3）FFT（快速傅里叶变换）估计法。为减小方法2）中估计的偏差，宜取小，N耍取大。但随着N的增多，运算时间迅速增加。利用相关和卷积Z间的关系，有九⑵=护（力5-力（3-44）可以用FFT来计算上述卷积，得出相关函数的估计，可解决估计精度和速度的矛盾。4・功率谱估计连续时间随机信号的功率谱密度与口相关函数是一对傅里叶变换对，即

8、Sx（co）=［jxx（T）e~iMrAt若心,力是心y（C的抽样序列，由序列的傅里叶变换的关系，可得S,e""）=£"）严（3-45）即Sx（eJ"）与心丫（力也是一对傅里叶变换对。显然由序列傅里叶变换的频谱特性可知，S,/）是以加为周期的。经典功率谱估计通常采用基于DFT（离散傅里叶变换）的FFT算法，称Z为非参数估计，包括周期图法和自相关法两种方法。1）周期图法。设有限长离散序列心⑺），有斤M）=+［兀N（/）*X科（-/）］（3-46）由DFT的下列卷积特性得：a•IIXS和空）=亦X（eM）*X«°〒xe®）即由FFT计算出随机离散

9、信号N点的DFT,再计算幅值的平方，然后除以N,即得出随机信号的功率谱估计。由于这种估计方法是在把心X。离散化的同吋，使其功率周期化了，故称为“周期图法”。2）自相关法。自相关是根据维纳一一辛钦定理来进行计算的。具体做法是先用样本班力的N个观测值兀“（力估计出自相关函数Rxx（y）,然后求斤口•（力的傅里叶变换，即得的功率谱。现在考虑零均值各态丿力经离散随机信号，利用FFT算法來计算。N-l：^zSx（k）=Sx（co）_2,工心⑵en（3-52）Ny=-（N-l）为克服经典自相关法的许多缺点，又对其进行了改进，如在求得自相关函数的估值之后，

10、对其加窗cx（y）=RMw（r）这里窗函数W（力为长度为/的实函数，卩应略小于兀⑺）的长度N。然后再对CA.（Z）进行傅里叶变换而得到的谱估，这样得到的谱估计是斤就