等比数列的和及应用

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1、教学内容【知识结构】等比数列的前n项和公式：.••当少1时,s”=W）①或s,严坐汕②-q-q当q=l时，Sn=na}当已知绚，q,n时用公式①；当已知e，q,°”时，用公式②当少1吋，前n项和必须具备形式S“=W7-1）,（A丰0）公式的推导方法一：一般地，设等比数列厲宀+冬，…％…它的前n项和是S“二d

2、+°2+。3+…Q"JS”=勺+。2+。3+…匕lan=绚严Sn=ax+a{q+a{q+•••%"〜+%广qSH=a{q+aAq2+a{q3+・・・％纟心+axqtl（l-g）S“=cix-axqn.••当xi

3、时,s”/d〃）①或$严鱼二Si②-q-q当q=l时，Sn=na}公式的推导方法二：有等比数列的定义，空吕=・・・=d=q%a2an_{根据等比的性质，有©+©+…+5=^^巳a+色+・••+%Sn-an£—H即———==>(1-q)Sn=a}-anq(结论同上)S”-an围绕基本概念，从等比数列的定义出发，运用等比定理，导出了公式.公式的推导方法三：Sn=G]++…5=d

4、+q（ci++…色一1）=%+qs2=a+q（s”-an）=>（l_g）s“=a}-anq（结论同上）【例题精讲】例1求等比数列1,2,

5、4,…从第5项到第10项的和.解：

6、±

7、a{—1,a2—2得q—2・•・S41x（1-2°）~1^2-1x（1—2山）~1^2-=1023从第5项到第10项的和为S1o-S4=1OO8例2—条信息，若一人得知后用一小时将信息传给两个人，这两个人每人又用一小时各传给未知此信息的另外两人，如此继续下去，一天时间可传遍多少人？解：根据题意可知，获知此信息的人数成首项a}=,q=2的等比数列1_924则：-天内获知此信息的人数为：S严冷"一例3已知｛色｝为等比数列,且Sn=a，S2n=b,（abfO）,求S3fl•解法1：设

8、等比数列｛%｝的公比为q・若q=l（此时数列为常数列）,则S“=HQi=a,S2n=2na｝=b,从而有2a=b•:S3n==3。（或S3”=3加］若q壬1（即2afb）,由已知_q①S2”又abHO,②/①得1nbl+<7=-acr®（iF〃）—bi-qJa将③代入①,得-2—s,—4（1-舁）—a21一9、_qcT—cib+/?2例4已知等差数列｛〜｝的第二项为8,前十项的和为185,从数列｛%｝中,依次取出第2项、第4项、第8项第2〃项按原来的顺序排成一个新数列｛亿｝，求数列｛hn｝的通项公式和前项和公式S〃c

9、l+d=S心/口叫+45G85'解得qPd=3,•:cin=3n+2,bn=ain—3x2n+2,Sn=（3x2+2）+（3x22+2）+（3x23+2）++（3x2"+2）=3•告+2n=6・2"+2“-6（分组求和法）例5求和：（兀+丄）+（/+丄）+…+（兀"+丄）（其中殍o,好1,）学1）yyy"分析：上面各个括号内的式子均由两项组成，其中各括号内的前一项与后一项分别组成等比数列，分别求岀这两个等比数列的和，就能得到所求式子的和.解：当好1,）世1时，（x+—）+（%2+丄）+•••+（兀“+丄）yyi、%-r

10、+I/-i1:1-X严—y"=(X+乂？+…+兀")+(1+)-(1-—)兀(1-疋)IyW1“Jy例6设数列｛%｝为l,2x,3-v2,4x3必心…（兀工0）求此数列前/7项的和.解：（用错项相消法）Sn=1+2x+3x~+4兀'++nx"1(J)■xSfJ=无++3x‘++(/?-11+nxl(§)①一②(1-兀)S〃=1+x+x2++x/,_l-tvcn,当兀H1时,(1-x)S〃l-xn—X-nxn-xn-IVCH+fVCH+l1—X1-(1+n)xn+nxti+｛1—xSn=1—(1+n)xn+nxn+^

11、(1-兀)2当X=1时，5,?=14-2+3+4+例7等比数列仏｝前斤项和与积分别为S和T,数列的前〃项和为S',T2,（成立）当@H1时，・・・S=a^~q，tT=S'=-计订，1—q1_qciy（jw—1）一广综上所述：命题成立.2=T2,（成立）例8设首项为正数的等比数列，它的前斤项之和为80,前加项之和为6560,且前料项中数值最大的项为54,求此数列的首项和公比q-Ll~2n=>l+g"=81=6560(2)1一9解：由题意80（1）代入(1),4（1-q"）=80（1-q）,得:G]二q-1>0,从而q

12、>1,a证：当g=l吋，S=叫,T=a,,S=—・・・｛①｝递增，.••前〃项中数值最大的项应为第〃项.・・.=（q_l）g"T=qn-qn~[=81-^,,_1=54,・・・qn-]=81-54=27,q二韦=3,・••此数列为2,6,18,54,162例9已知数列（an）的前n项和Sn=lan+1,求ai+a3++a2n-i