《等比数列的前n项和》等差及等比数列的性质及其应用（人教）

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1、等差、等比数列性质及其应用例题分析：例1．（1）若一个等差数列前3项的和为34，最后三项的和为146，且所有项的和为,则这个数列有13项；（2）已知数列是等比数列,且,,，则9．（3）等差数列前项和是，前项和是，则它的前项和是210．例2．若数列成等差数列，且，求．解：（法一）基本量法（略）；（法二）设，则得：，，∴，∴．例3．等差数列中共有奇数项，且此数列中的奇数项之和为，偶数项之和为，，求其项数和中间项.解：设数列的项数为项，则，∴，∴，∴数列的项数为，中间项为第项，且．说明：（1）在项数为项的等差数列中，；（2）在项数为项的等差数列中．例4．数列是首项为，公比为的等比数列，数

2、列满足，（1）求数列的前项和的最大值；（2）求数列的前项和．解：（1）由题意：，∴，∴数列是首项为3，公差为的等差数列，∴，∴由，得，∴数列的前项和的最大值为（2）由（1）当时，，当时，，∴当时，当时，∴．例5*．若和分别表示数列和的前项和，对任意自然数，有，，（1）求数列的通项公式；（2）设集合，．若等差数列任一项是中的最大数，且，求的通项公式．解：（1）当时：，两式相减得：，∴，又也适合上式，∴数列的通项公式为．（2）对任意，，∴，∴∵是中的最大数，∴，设等差数列的公差为，则，∴，即，又是一个以为公差的等差数列，∴，∴，∴．（四）巩固练习：1．若数列（*）是等差数列，则有数列（

3、*）也为等差数列，类比上述性质，相应地：若数列是等比数列，且（*），则有（*）也是等比数列．2．设和分别为两个等差数列的前项和，若对任意，都有，则第一个数列的第项与第二个数列的第项的比是．说明：．