等比数列前n项和性质的证明及应用

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1、一个等比数列前n项和性质的完善及应用黄文宪福建省南安市新营中学摘要：本文所指等比数列的前n项和性质是指Sm,S2m-Sm,S3m-S2m之间的关系，这也是中学数学中常用又常错的命题。很多的课外辅导材料中所给的相关性质都是不完善的，应用该性质解题存在着逻辑上的缺陷，但又不易察觉。本文对该性质进行了完善与发展，使得利用该性质解题能完整无误。关键词：等比数列前项和性质完善应用在很多的高中数学辅导材料中，都有关于等比数列前n项和一个性质：在等比数列an中，若其前n项和为Sn，m∈N*,则Sm,S2m-Sm,S3m

2、-S2m也成等比数列，公比为qm。由于等差数列前n项和有相类似性质的存在，虽然没有严格的证明，但在惯性思维作用下，这个性质得到广大师生的认同。其实，这是一个假命题，比如有穷等比数列1,-1,1,-1,1,-1的前两项和、中两项和及后两项和,组成的数列为0,0,0，显然不成等比数列。这说明，至少在公比q=-1时，命题是不成立的。那么，该性质应如何表述才恰当呢？1.1等比数列前n项和性质及其证明等比数列前n项和性质：在等比数列an中，其前n项和为Sn，m∈N*，则(S2m-Sm)2=Sm∙(S3m-S2m)。

3、证明：在等比数列an中，前n项和为Sn，设公比为q(q≠0),则Sm=a1+a2+⋯+am①S2m-Sm=am+1+am+2+⋯a2m=qm(a1+a2+⋯+am)②S3m-S2m=a2m+1+a2m+2+⋯a3m=q2m(a1+a2+⋯+am)③当q≠-1时，Sm=a1+a2+⋯+am≠0，由②①得S2m-SmSm=qm由③②得S3m-S2mS2m-Sm=qm∴S2m-SmSm=S3m-S2mS2m-Sm∴Sm,S2m-Sm,S3m-S2m是等比数列，即有(S2m-Sm)2=Sm∙(S3m-S2m)。当

4、q=-1时若m为偶数，则Sm=a1+a2+⋯+am=0，S2m-Sm=am+1+am+2+⋯a2m=qm(a1+a2+⋯+am)=0S3m-S2m=a2m+1+a2m+2+⋯a3m=q2m(a1+a2+⋯+am)=0此时，Sm,S2m-Sm,S3m-S2m不成等比数列，但有(S2m-Sm)2=Sm∙(S3m-S2m)若m为奇数，则Sm=a1+a2+⋯+am=am=a1qm-1=a1，S2m-Sm=am+1+am+2+⋯a2m=a2m=a1∙q2m-1=-a1S3m-S2m=a2m+1+a2m+2+⋯a3m

5、=a3m=a1∙q3m-1=a1∵a1≠0,∴Sm,S2m-Sm,S3m-S2m成等比数列，即有(S2m-Sm)2=Sm∙(S3m-S2m)综上所述，在等比数列an中，其前n项和为Sn，m∈N*则(S2m-Sm)2=Sm∙(S3m-S2m)。1.2等比数列前n项和性质应用错析有了等比数列前n项和性质，可以直接用它来解题了吗？先看以下一道试题几个学生的不同解法：人教A版教辅《优化设计》P42，试题7：等比数列an的前n项和为Sn，S2=3，S6=63，则S4=________________学生甲：由等比数

6、列前n项和的性质有：（S4-S2）2=S2×（S6-S4）所以（S4-3）2=3×（63-S4）S42-3S4-180=0∴S4=15或S4=-12学生乙：显然公比q≠1，由等比数列的前n项和公式得a1(1-q2)1-q=3①a1(1-q6)1-q63②②÷①得1+q2+q4=21解得q2=4或q2=-5（舍去）∴q=2或q=-2∴a1=1q=2或a1=-3q=-2当a1=1q=2时，S4=a1(1-q4)1-q=15当a1=-3q=-2时，S4=a1(1-q4)1-q=15综上所述，S4=15.学生丙：

7、由已知S2=3，S6=63得a1+a2=3①a1+a2+a3+a4+a5+a6=63②②÷①得1+q2+q4=21解得q2=4或q2=-5（舍去）S4=a1+a2+a3+a4=(a1+a2)+(a1+a2)q2=3+3×4=15所以S4=15.观察对比几位同学的解法会发现，直接利用等比数列前n项和性质解题，可能会产生增根，从而得出错误结果。甲同学的解答得出的S4=-12对应于乙同学和丙同学解答时得到的q2=-5，等比数列不存在。所以性质“在等比数列an中，其前n项和为Sn，m∈N*则(S2m-Sm)2=S

8、m∙(S3m-S2m)”的题设是结论的充分不必要条件，即在等比数列中，其前n项和为Sn，m∈N*则(S2m-Sm)2=Sm∙(S3m-S2m)一定成立，但满足(S2m-Sm)2=Sm∙(S3m-S2m)的Sm，S2m，S3m不一定是一等比数列的前m，2m，3m项和。所以探究等比数列中前m，2m，3m项和的内在联系成为该性质应用的必然。1.3等比数列前n项和性质分析完善因为Sm=a1+a2+⋯+amS2m=a1+a2+⋯+am+