等比数列前n项和公式的推导及性质

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1、2.5等比数列前n项和公式细节决定成败态度决定一切复习:等比数列{an}an+1an=q(定值)(1)等比数列:(2)通项公式:an=a1•qn-1(4)重要性质:n-man=am•qm+n=p+qan•aq•am=ap注:以上m,n,p,q均为自然数成等比数列(3)引入：印度国际象棋发明者的故事（西萨）引入新课它是以１为首项公比是２的等比数列，分析：由于每格的麦粒数都是前一格的２倍，共有64格每格所放的麦粒数依次为：麦粒的总数为:请同学们考虑如何求出这个和？这种求和的方法,就是错位相减法!1844674407

2、3709551615如果1000粒麦粒重为40克，那么这些麦粒的总质量就是7300多亿吨。根据统计资料显示，全世界小麦的年产量约为6亿吨，就是说全世界都要1000多年才能生产这么多小麦，国王无论如何是不能实现发明者的要求的。如何求等比数列的Sn:①②①—②，得错位相减法1.使用公式求和时，需注意对和的情况加以讨论；2.推导公式的方法：错位相减法。注意：显然，当q=1时，(q=1).(q≠1).等比数列的前n项和表述为：Sn=a1+a2+a3+…….+an-1+an=a1+a1q+a1q2+…..+a1qn-2+

3、a1qn-1=a1+q(a1+a1q+….+a1qn-3+a1qn-2)=a1+qSn-1=a1+q(Sn–an)Sn=a1(1–qn)1–q证法二：借助Sn-an=Sn-1(一)用等比定理推导当q=1时Sn=na1因为所以用等比定理：证法三：已知a1、n、q时已知a1、an、q时等比数列的前n项和公式知三求二(1)等比数列前n项和公式：等比数列前n项和公式你了解多少？Sn={1-q(q=1)(q=1)Sn={1-q(q=1)(q=1)(2)等比数列前n项和公式的应用：1.在使用公式时.注意q的取值是利用公式的

4、前提；２.在使用公式时，要根据题意，适当选择公式。利用“错位相减法”推导(3)两个等比数列前n项和公式中任知其三可以求其二：例1、求下列等比数列前8项的和说明：２.１.例3.某商场今年销售计算机5000台，如果平均每年的销售量比上一年的销售量增加10%，那么从今起，大约几年可使总销售量达到30000台(结果保留到个位)？分析：第1年产量为5000台第2年产量为5000×(1+10%)=5000×1.1台第3年产量为5000×(1+10%)×(1+10%)……第n年产量为则n年内的总产量为：1．数列{2n－1}的

5、前99项和为()A．2100－1B．1－2100C．299－1D．1－299答案：C2．在等比数列{an}中，已知a1＝3，an＝96，Sn＝189，则n的值为()A．4B．5C．6D．7答案：C3．已知等比数列{an}中，an>0，n＝1,2,3，…，a2＝2，a4＝8，则前5项和S5的值为________．答案：314．在等比数列{an}中，已知a1＋a2＋…＋an＝2n－1，则a12＋a22＋…＋an2等于________．5．设数列{an}是等比数列，其前n项和为Sn，且S3＝3a3，求公比q的值．[点

6、评]在求含有参数的等比数列的前n项和时，容易忽略对a＝1和q＝1的讨论，从而丢掉一种情况．[题后感悟]错位相减法一般来说，如果数列{an}是等差数列，公差为d；数列{bn}是等比数列，公比为q，则求数列{anbn}的前n项和就可以运用错位相减法．在运用错位相减法求数列的和时，要注意以下四个问题：(1)注意对q的讨论，在前面的讨论中，我们已知q是等比数列{bn}的公比，所以q≠0，但求和Sn＝1＋2x＋3x2＋…＋nxn－1时，就应分x＝0、x＝1和x≠0且x≠1三种情况讨论．(2)注意相消的规律．(3)注意相消

7、后式子(1－q)Sn的构成，以及其中成等比数列的一部分的和的项数．(4)应用等比数列求和公式必须注意公比q≠1这一前提条件．如果不能确定公比q是否为1，应分两种情况讨论，这在以前高考中经常考查．.3求和：1.已知数列前n项和sn=2n-1，则此数列的奇数项的前n项的和是.2.设{an}为等差数列，{bn}为等比数列，a1=b1=1,a2+a4=b3,b2b4=a3分别求出{an}及{bn}的前10项的和S10及T10。3.设{an}为等比数列，Tn＝na1+(n一1)a2+…+2an-1+an，已知T1＝1，T

8、2＝4．(1)求数列{an}的首项和公比；(2)求数列{Tn}的通项公式．练习：.4已知数列的首项（1）证明：数列是等比数列（2）求数列的前n项和