2021222324届大学高等数学竞赛

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1、1953/中国石油大学(华东)第二^一届高等数学竞赛试卷2007年6月10R一、填空题(每小题5分，本题共50分)：.I+XIn1.若xt0+时，与兀“是等价无穷小，则解题过程是：(・arctanx-sinxnm=2.XT()x3・解题过程是：I丫y=—+ln(l+e)3.曲线x,渐近线的条数为：•解题过程是：tan—,贝ijx—+y—=4.xdxdy.5.微分方程yy^+y2=0满足初始条件^

2、v=0=l,儿=o右的特解是：6.若平面区域D为：。"筈。十即则二重积分JJ

3、cos(x+y)dxdy的值为:

4、D7.(3COSx_3-cosx)dx=解题过程是:&9.设函数/(X)的一个原函数是2孫,则Jv，u)dx=解题过程是：设空间区域Q由z=^x2+y2与z二Jl-x?一尹2所围成，计算

5、JJ(x+z)dK10.设曲线如O为兀2+尹2=-ax的下半圆周自力(-。,0)到0(0,0)—段(a>0),计算[[exsiny-3y)dx+(excosy-3)dy=JAnO'''/二、计算题(每小题6分，本题共42分)：1.在gy坐标平面上，连续曲线厶过点M(1,O),其上点P(兀』)(xhO)的切线斜率与直线0尸的

6、斜率之差等于ax(a>0),(1)求厶的方程；Q(2)当直线厶与y=QX所围平血图形面积为-时，确定Q的值.2.设曲面刀是z=l—x2_y2(zno)的上侧.，计算曲面积分/=jj2x^dydz+2y^dzdx+3(z2-1)dxdy.X3.求椭球面2x2+3y2+z2=9的平行于平而2x-3尹+2z+1=0的切平面方程.4.设函数/(x)在(0,+oo)上连续，且对任意的r(/>0)满足下式：f⑴=1+出［z2+尼J宀/］d?Q2其中Q由不等式0

7、,y)=x2+2y2-x2y2在区域D=^(x,y)x2+y2<4,y>o}jb的最大值和最小值•y+b+z-l恥+讪dS6.设曲面2•X+W+2-1,计算曲面积分》解题过程是：7.确定常数/M吏在右半平x>0上的向量A(x,y)=2xy(x4+y2/i-x2(x4+y2)Aj为某二元函数u(x,y)的梯度，并求讥兀,尹).三、证明题(本题8分)：设函数/(x),g(x)在［d,b］上连续，在(°,历内具有二阶导数且存在相等的最大值，f(a)=g(af(b)=g(b),证明:存在兵(a,b),使得厂©=

8、g"©・2006年6刀4日一、填空题(每小题5分，本题共50分)：11•若xtO时，(1-tzx2)4-1与xsinx是等价无穷小，则°=2lim(cosx)ln(1+J)=2.工->03.设函数/(兀)=1-fsin/~d/,x0,x3Joa,x=0,在兀=0处连续，则°设z=xysin上，贝9x学+y学=4.xdxdy微分方程xy'4-2y=xlnx满足尹⑴=-+的解为:"、门c厂、a^00,f(x)=g(x)=<,血£)表不全半面，0,其他■则1=JJ/(x)g(y-x)dx

9、dy=DJ2”(%2005+cos2x)tan2xdx=7.~2lim—sin>°°n<71.2龙——+sin——nn+…+sinY171、/?)设空间区域Q由x2+y2+z2＜l所界定，计算\e^dv=・9.Q10・设在上半平而°=｛(兀』)1丿＞0｝内，函数/(X,y)具有连续偏导数，且对任意的｛＞0都有JtxJty)=r2f(x,y)对Q内的任意分段光滑的有向简单闭曲线厶，贝ijyf(x,y)d兀一=•二、计算题（每小题6分，本题共42分）：1.用变量代换X=cosZ（0

10、（1—H）*—XJ/+7=0,并求满足y=1,：n=2的解.x=02.设E是锥面z=7x2+y2（O

11、已知体积减少的速率勻则面积成正比，（比仞係数0.9）,问高为30厘米的雪堆全部融化磁多少时间?6.设厉是曲面2兀2+3j?+z2=6在点P（l,l,1）处指向外侧的法向量，计算函数弘=匹=在点P处沿方向方的方向导数和在点P处的梯度.三、证明题（本题8分）：设函数0。）有连续的导数，在围绕原点的任意分段光滑简单闭曲线厶上,曲线积分f°（力彳+2?®的值恒为同一常数,丸2”+y4（/）证明：对右半平面x>0内的任意分