东南大学高等数学a竞赛练习

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1、2012数学竞赛练习题（东南大学数学系贺传富）1.证明：为常数）。2．设具有二阶连续导数，且是曲线上点处的切线在轴的截距，求。3．使得不等式对任意的正数都成立的最小正常数。4．设且则＝，＝。5．设函数在上连续，且，则极限＝。6．。7．设。8．设，当时，。9．＝。10．＝。11．设则＝。12．设在上连续，且，证明：存在使。13.设在上连续，，已知对任意的都有，证明对一切与有14．证明：，其中为正整数。15．设为任意实数，=。16．在时有极大值，在时有极小值2的最低幂次多项式的表达式是。1．设在内有，且，证明在内有17、设函数在闭区间上有连续导数，，证明：18．。19

2、．证明：。20．当，时，函数当时关于的无穷小阶数最高。21．设，则。22．设，则=。23．计算24．设为正常数，证明25．试比较积分与的大小，并证明你得出的结论。26、设函数在上二阶可导，求证存在使得。27、设在上具有连续导数，证明28．设函数在区间上具有二阶连续导数，又设，且对，有，证明29．函数（其中）的反函数为。30．，则。31．若且有，则=。32．。33．。34．已知当时，与为等价无穷小，则，。35．设是连续函数，则。36．设求37．求极限38、设是由方程所确定的隐函数，求。39．设，求使不等式成立的最小的值。40．证明：当时，41、设在上存在连续导数，在

3、内存在二阶导数，，，求证：1）至少存在互异的两点，使得；2）至少存在一点，使得。42、设在的某邻域内有连续的三阶导数，且，又设求极限。42．当时，与为同阶无穷小，则=。43．。44．极限=。45．已知在内可导，且，则。46．设则=。47．设函数则=。48．设求49．求极限。50．比较与的大小。51、设函数在上存在连续导数，，试证对任意正整数，有52、设，试问曲线有几个拐点，证明你的结论。53、设为有界闭区间上的连续函数，且有数列，使。证明：至少存在一点，使。54、设在区间上可导，且，证明存在使。