高等数学竞赛练习题(含答案

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1、高等数学竞赛练习题1、单项选择题(1)已知在区间上单调递减，则的单调递减区间是(C)A．B．C．D．不存在(2)设函数,，则(B)A．当时，是无穷大B．当时，是无穷小C．当时，是无穷大D．当时，是无穷小(3)设函数与在处都没有导数，则和在处(D)A．一定都没有导数B．一定都有导数C．至少一个有导数D．至多一个有导数(4)若是的一个原函数，则的另一个原函数是（A）A.B.C.D.(5)设连续，则等于(A)A.0B.C.D.（6）下列命题中正确的命题有几个？（A）（1）无界变量必为无穷大量；(2)有限多个无穷大量之和仍为无穷大量；

2、（3）无穷大量必为无界变量；(4)无穷大量与有界变量之积仍为无穷大量.(A)1个；(B)2个；(C)3个；(D)4个.（7）.设，则是间断点的函数是（B）(A)；(B)；(C)；(D)..（8）设为在上应用拉格朗日中值定理的“中值”，则（C）(A)1；(B)；(C)；(D).（9）设连续，当时，与为等价无穷小，令12，,则当时，的（D）(A)高阶无穷小；(B)低阶无穷小；(C)同阶无穷小但非等价无穷小；(D)等价无穷小.（10）设在点的某邻域内连续，且满足，则在点处（A）(A)取极大值；(B)取极小值；(C)无极值；(D)不能

3、确定是否有极值.（11）设有连续的一阶导数，则（B）(A)；(B)；(C)；(D)0.（12）设任意项级数条件收敛，将其中的正项保留负项改为0所组成的级数记为,将其中的负项保留正项改为0所组成的级数记为，则与（B）(A)两者都收敛；(B)两者都发散；(C)一个收敛一个发散；(D)以上三种情况都可能发生.（13）设存在，则下列四个极限中等于的是（B）（A）；（B）；（C）；（D）.（14）是曲线有拐点的（D）（A）充分而非必要条件；（B）必要而非充分条件；（C）充分必要条件；（D）既非充分又非必要条件.（15）设，则（C）(A)

4、；(B)；(C)；(D)的符号与有关.2、求极限答案：123、设，若时，与为等价无穷小，求答案：，，由，解得4、求答案：令，则所以5、设函数，，求的极值和单调区间.答案：,令，得.由知为极小值，由知，的单调减区间是，单调增区间是6、说明级数的敛散性12答案：通项，而交错级数收敛，调和级数发散，故原级数发散7、已知，且，求及答案：已知为一常数，由，积分得，再积分得，所以8、求内接于椭圆，而面积最大的矩形的边长答案：设内接矩形的边长分别为，则顶点在椭圆上，所以，矩形面积，，令，得唯一驻点，从而，由实际问题知，当时，有最大面积，这时

5、矩形边长分别为和9、设函数在上连续，在内可导，且，求证在内至少存在一点，使答案：由定积分中值定理得，其中，在上应用罗尔定理，至少存在一点，使1210、设是单调不减的数列，令，若，试证.若去掉“单调不减”这个条件，试问这个结论是否成立？（要求说明理由）证：因对任意，故.（夹逼）固定，并令，则令，得，从而，令，得若去掉“单调不减”这个条件，则结论不一定成立.例如，取，则，但数列发散.11、设在上，且在内取得最大值，试证证：因在内取得最大值，由费马定理得存在使.对使用拉格朗日中值定理得，从而.12、设在上连续（为自然数，），，试证存

6、在，使证：令，则在上连续令，则，，对函数应用介值定理得，存在，使12，即存在，使.13、设函数在上可积，且，试证存在区间使.证：反证法.若不然，则对于的任何子区间上都有点，使，从而对于的任何分划T：，在每个子区间上都有点，使.那么由在上的可积性知，，矛盾.14、设在点二阶可导，且，求和的值解：又15、设，具有二阶连续偏导数，且，如果，求常数的值解：设，则12由得，故.16、设在上可积，证明证：17、设函数在内具有一阶连续导数，L是上半平面内的有向分段光滑曲线，起点为，终点为，令.要求：（1）证明曲线积分I与路径L无关；（2）当

7、时，求I的值.证明(1)因为在上半平面内处处成立，所以曲线积分I与上半平面内路径L无关.解(2)由于曲线积分I与路径无关，所以可取积分路径L为由点到点，再到点的折线段，从而所以，当时，.18、设在区间连续，12,试求下列问题：（1）用表示；（2）求；（3）求证：；（4）设在内的最大值和最小值分别是,求证：.解（1）（2）（3）（4）19、求曲线所围成的平面图形的面积.[解1]去掉绝对值曲线为：[解2]令..20、设曲面为曲线()绕轴旋转一周所成曲面的下侧，计算曲面积分[解1]S的方程为补两平面；12[解2]21、设幂级数,当时

8、，且;（1）求幂级数的和函数；（2）求和函数的极值..解（1）令，，求得（2）由.22、设函数可微，,且满足求.解，对y积分得代入，，，23、如图所示，设河宽为，一条船从岸边一点出发驶向对岸，船头总是指向对岸与点相对的一点。假设在静水中船速为常数，河流中水的流速为常数，试求船