高等数学竞赛讲义

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1、第一讲O.Stolz公式一、序列的情况：例1：例2：求极限解：例3：提示：只需证明，由O.Stolz定理知从而故，22an+1+anan+11an+1−an=(an+1−an)(an+1+an)==+1=+22→2.aaannn例4：二、函数极限的情况：例1：例2：例3：补充：用定义证明问题，例1：例2：证明：第二讲极限若干问题一、数列极限1、利用单调有界数列必有极限准则例1：，例2：例3：2、利用放缩法例1：例2：二、函数极限1、利用等价代换例1：例2：例3：例4：2、利用定积分例1：例3：求极限。提示：例4：求极限提示：例5：求极限提示：

2、3、利用中值定理例3：求下列极限：例4：4、其他1、例1：2、对数指数求极限法例1：由O.Stolz公式得，知，原式值为1/2。例2：例3：3、等价无穷小量替换法例1：例2：求下列极限：（1）（2）解：第三讲函数相关问题1、函数的连续性例：2、函数的有界性如果对属于某一区间I的所有x值总有│f(x)│≤M成立，其中M是一个与x无关的常数，那么我们就称f(x)在区间I有界，否则便称无界。例：3、函数的最值定理例：4、函数的介值定理定理：设函数y=f(x)在闭区间[a,b]上连续，则在这区间必有最大最小函数值：f(min)=A,f(max)=B,

3、且A≠B。那么，不论C是A与B之间的怎样一个数，在开区间(a,b)内至少有一点ξ，使得f(ξ)=C(a<ξ

4、，多元函数的微分及其性质和应用。二重积分、三重积分、第一、二类曲线与曲面积分的计算，三个重要公式：Green公式、Gauss公式和Stokes公式以及曲线积分与路径无关性的应用和计算。1、第一、二类曲线2、第一、二类曲面积分3、Stokes公式4、Gauss公式3222设Ω={(x,y,z)∈R

5、−a−x−y≤z≤0,a>0}，S为Ω的边界曲面外侧，计算axdydz+2(x+a)ydzdxI=∫∫222Sx+y+z+1222222⎧x+y≤a解：S1:z=−a−x−y（下侧），S2:⎨（上侧），∵∫∫=0，⎩z=0S211⎛⎞∴�∫∫=∫∫+

6、∫∫=∫∫=2∫∫axdydz+2(x+adzdx)=2⎜⎜�∫∫−∫∫⎟⎟SSSSa+1Sa+1⎝S+SS⎠121112211=�∫∫axdydz+2(x+aydzdx)=∫∫∫[a+2(x+adV)]22a+1S+Sa+1Ω124113a1432πa=∫∫∫(3a+2)xdV=∫∫∫3adV=⋅⋅πa=a2+1a2+1a2+123a2+1ΩΩ