高等数学竞赛讲义第三章多元微分学

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1、第三部分多元函数微分学一、多元函数的概念、极限与连续性Ø内容要点一、多元函数的概念二、二元函数的极限三、二元函数的连续性1．二元函数连续的概念2．闭区域上连续函数的性质定理1（有界性定理）设在闭区域D上连续，则在D上一定有界定理2（最大值最小值定理）设在闭区域D上连续，则在D上一定有最大值和最小值定理3（介值定理）设在闭区域D上连续，M为最大值，m为最小值，若则存在Ø典型例题一、求二元函数的定义域例1求函数的定义域例2.求函数二、有关二元复合函数例1设例2设解：由条件可知三、有关二元函数的极限9例1讨论

2、解：原式=而又例2讨论解：沿原式沿例3讨论解：而用夹逼定理可知原式=0二、偏导数与全微分Ø内容要点9一、偏导数与全微分的概念二、复合函数微分法——锁链公式三、隐函数微分法Ø典型例题例1设有连续的一阶偏导数，又函数分别由下列两式确定解由解出由解出所以例2设解一：令,9例3已知均有连续编导数，求证证：根据隐函数求导公式则得u例4设，f,g具有二姐连续偏导数，且不恒为0.，若，求常数k的值（2005）u例5设二元函数有一阶连续的偏导数，且。证明：单位圆周上至少存在两点满足方程。(2002)u例6曲面z=x2/

3、2+y2-2平行平面2x+2y-z=0的切平面方程是__2x+2y-z-5=0__.（首届中国大学生数学竞赛2009）三、多元函数的极值和最值Ø典型例题一、普通极值、最值例1求函数的极值解要求9故知由此解得三个驻点又在点（1，1）处极小值在点（-1，-1）处极小值在点（0，0）处这时取而取不是极值点u例2求函数的极值（2008）u例3求函数在上的最大、小值。（2004）u例4求函数在上的最大、小值。（2007）二、条件极值问题9例1在椭球面第一卦限上P点处作切平面，使与三个坐标平面所围四面体的体积最小，

4、求P点坐标。解：设P点坐标(x,y,z)，则椭球面在P点的切平面的法向量为切平面：约束条件用x乘（1）+y乘（2）+z乘（3）得9则将（5）分别找代入（1），（2），（3）得所以P点坐标为（）而最小体积例2求坐标原点到曲线C：的最短距离。解：设曲线C上点（x,y,z）到坐标原点的距离为d，令约束条件用拉格朗日乘子法，令首先，由（1），（2）可见，如果取解得这样得到两个驻点再由（1）（2）得是矛盾的，所以这种情形设有驻点。最后，讨论情形，由（1）（2），（3）可得此方程无解，所以这种情形也没有驻点。9综合

5、上面讨论可知只有两个驻点，它们到坐标原点的距离都是1，由实际问题一定有最短距离，可知最短距离为1。另外，由于C为双曲线，所以坐标原点到C的最大距离不存在。例3已知函数在椭圆域解法1由再由令在椭圆其最大值为再与比较，可知在椭圆域D上的最大值为3，最小值为-2。解法2同解法1，得驻点(0,0).用拉格朗日乘数法求此函数在椭圆上的极值。设解得4个可能的极值点(0,2),(0,-2),(1,0)和(-1,0).又f(0,2)=-2,f(0,-2)=-2,f(1,0)=3,f(-1,0)=3,再与f(0,0)=2

6、比较，得在D9上的最大值为3，最小值为-2。9