2018版高中数学苏教版必修四学案：312 两角和与差的正弦

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1、3.1.2两角和与差的正弦【学习目标】1.了解两角和与差的正眩和两角和与差的余眩间的关系2会推导两角和与差的正弦公式，常握公式的特征.3.能运用公式进行三角函数的有关化简求值.ET问题导学知识点两角和与差的正弦思考1如何利用两角差的余弦公式和诱导公式得到两角和的正弦公式?思考2如何推导两角差的正弦呢?（2）辅助角公式Jrc(a.tbasinx+bcosx=y/+L

2、inx+sin(pcosx)=梳理（1）两角和与差的正弦公式名称简记符号公式使用条件两角和的正弦S(a+“)sin(a+〃)=两角差的正弦S(a-“)sin(a—0)=sin(zcos0—cosasinpQ,阻Ry]a2+h2sin(x+,其中tan(P为辅助角.题型探究类型一给角求值例1(1)化简求值：sin(x+27°)cos(18°—%)—sin(63°—x)sin(x—18°).sin50°—sin20°cos30°cos20°反思与感悟(1)解答此类题目一般先要用诱导公式把角化正化小，化切为弦统一函数名称，然后

3、根据角的关系和式子的结构选择公式.(2)解题时应注意观察各角之间的关系，恰当运用拆角、拼角技巧，以达到正负抵消或可以约分的目的，从而使问题得解.跟踪训练1计算：(l)sin14°cos16°+sin76°cos74°；(2)sin(54°—x)cos(36°+x)+cos(54°—x)sin(36°+x).类型二给值求值已知且0勺＜才＜0＜才，求cos(a+0).反思与感悟⑴给值(式)求值的策略：①当“已知角”有两个时，“所求角”一般表示为两个“已知角”的和或差的形式.②当“已知角”有一个时，此时应着眼于“所求角”与“已

4、知角”的和或差的关系，然后应用诱导公式把“所求角”变成“已知角”.(2)给值求角本质上为给值求值问题，解题时应注意对角的范围加以讨论，以免产生增解或漏解.跟踪训练2已知号cos(a—“)=yy,sin(a+“)=—求cos2a与cos2“的值.类型三辅助角公式命题角度1用辅助公式化简例3将下列各式写成Asm{atx+(p)的形式:(lyT^sinx—cosx；反思与感悟一般地对于asina+bcosa形式的代数式，可以提取yja2+b2,化为Asx(a)x+(p)的形式，公式asma+bcosa=yja2+h2sin

5、(a+(p)(或asina+bcosa=yja2+b2cos(a—^))称为辅助角公式.利用辅助角公式可对代数式进行化简或求值.跟踪训练3sin令—V^cos令=.命题角度2求函数值域(最值)例4已知函数/(x)=2sin(x+¥)—2cosx,兀丘号，兀，求函数/(x)的值域.反思与感悟(1)用辅助角公式化成一角一函数，即asinx+bcosx=yja2+b2sin(x土卩)的形式.(2)根据三角函数的单调性求其值域.跟踪训练4(1)当函数y=sinx—迈cosx(0W兀冬2兀)取得最大值时，x=(2)函数/(X)=s

6、inx—cosl当堂训练1.计算sin43°cos13。一cos43°sin13。的结果等于2.化简：cosrj+a3.sin20°cos10°—cos160°sin10°=5.化简：sin3—cos(?+3x)sin厂规律与方法11.公式的推导和记忆(1)理顺公式间的逻辑关系小以一厂代换0小诱导公式c以一0代换"cC(a-0)**C(a+〃)S(a+的*S(a-^.(2)注意公式的结构特征和符号规律对于公式C佑历，C@+0)可记为“同名相乘，符号反”；对于公式S(z“)，％+〃)可记为“异名相乘，符号同”.(3)符号变

7、化是公式应用中易错的地方，特别是公式C佑0),Cs+“)，Ssm，且公式sin(a—0)=sinacos0—cosasin",角a,0的"地位”不同也要特别注意.2.应用公式需注意的三点(1)要注意公式的正用、逆用，尤其是公式的逆用，要求能正确地找出所给式子与公式右边的异同，并积极创造条件逆用公式.(2)注意拆角、拼角的技巧，将未知角用已知角表示出来，使之能直接运用公式.(3)注意常值代换：用某些三角函数值代替某些常数，使之代换后能运用相关公式，其中特别要注意的是“1”的代换，如l=sii?a+cos%l=sin90。，

8、^=cos60°,^=sin60°等，再如：o,I，芈，爭等均可视为某个特殊角的三角函数值，从而将常数换为三角函数.答案精析问题导学知识点思考1sin(a+”)=cos㊁一(a+0)cos”+sin(号—"sin0=sinacos0+cosasmP・TTTT思考2可以由sin(a—”)=5対[空一(a—”)]=cos