2018版高中数学苏教版必修5学案：11 正弦定理（二）

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1、§1.1正弦定理(二)［学习目标］1.熟记并能应用正弦定理的有关变形公式解决三角形中的问题2能根据条件，判断三角形解的个数.3.能利用正弦定理、三角变换、三角形面积公式解决较为复杂的三角形问题4能应用正弦定理解决简单的实际问题.自主学习歹知识梳理知识点一对三角形解的个数的判断已知三角形的两角和任意一边，求另两边和另一角，此时有唯一解，三角形被唯一确定.已知两边和其中一边的对角，求其他的边和角，此时可能出现一解、两解或无解的情况，三角形不能被唯一确定，现以已知方和4解三角形为例，从两个角度予以说明：(1)代数角度由正弦定理得sinB=^A①若警I〉】，则满足条件的三角形个数为Q,

2、即无解.a则满足条件的三角形个数为丄,即一解.警1<1,则满足条件的三角形个数为1或2.(2)几何角度图形关系式解的个数A为锐角CX①a=bsinA；②d^b一解(DBAiBABiB?/?sinAb一解cc-4BABaWb无解知识点二三角形面积公式任意三角形的而积公式：⑴S^AliC=^bcsinA=^acsB=^absinC,即任意三角形的面积等于任意两边与它们夹角的正弦的乘积的一半.⑵其屮u为△ABC的一边长，而h为该边上的高的长.a+b+c⑶Swc=*r(a+b+c)=如，其中门/分别ABC的内切圆

3、半径及厶ABC的周长.（4）S0bc=7P（P―艸―厲9一c）（其中p=戸题型探究重点突破题型一三角形解的个数的判断例1己知下列各三角形中的两边及其一边的对角，判断三角形是否有解，有解的作出解答.(1)a=10,b=20,A=80°；(2)d=2迈，b=6,A=30°.解(1)g=10,b=20,a20sin60°=l(h/3,a=2^3,b=6,absinA、「•bsinA

4、bsinA6sin30°y[3s,nB=^r=^r=2又VBe(0,it),AB]=60°,B2=120°.当3=60。时，q=90°,dsinC

5、2书sin90°sinA~sin30°当B2=120°时，C2=30°,©=sinJ2⑴sin30。sin30°・・・Bi=60。时，Ci=90°,6=4诵；B2=120°时，C2=30°,c2=2y[3.反思与感悟已知三角形两边和其中一边的对角时，利用正弦定理求出另一边对角的正弦值后，需利用三角形中“大边对大角”来判断此角是锐角、直角还是钝角，从而确定三角形有两解还是只有一解.也可以用几何法来判断，即比较已知角的对边与另一边和该角

6、正弦值乘积的大小来确定解的个数.跟踪训练1(1)满足a=4,b=3,A=45°的△A3C的个数为⑵ZV1BC屮，a=x,b=2,B=45。.若该三角形有两解，则兀的取值范围是答案(1)1(2)23=bf所以AABC的个数为1个.(2)白asinB

7、acsinB=

8、x2XyX4_85=TsinA=sin(B+C)=s

9、inBcosC+cosBsinC=ac.asinC2逅10sinA-sinC"…'一sinA_7迈2—710反思与感悟求三角形的面积关键在于选择适当的公式，因此，要认真分析题中的条件，结合正弦定理，同时注意三角形内角和定理及三角恒等变换等知识的应用.跟踪训练2⑴在ZXABC中，若d=3返，cosC=

10、,S^bc=4书,贝必=.(2)在厶ABC中，AB=羽,4C=1,3=30。，则△ABC的面积等于，号),II2/2又SzMBc=^bsinC=空•b•己,:.b=2y[3.(2)由正弦定理得sinc/煤爭又VCE(O,it),AC=60°或120。，:.A=90°或30°,S“B

11、C=gBACsinA=题型三正弦定理在生活中的应用例3—船自西向东匀速航行，上午10时到达一座灯塔P的南偏西75。距塔64海里的M处,下午2时到达这座灯塔的东南方向的"处，则这只船的航行速度为海里/时.答案8^6解析如图所示，PMMNsin45o=sin120Q,64X*MN=返=32晶.・2=竽=8百(海里/时).反思与感悟运用正弦定理解决实际问题时，通常都根据题意，从实际问题中抽象出一个或几个三角形，然后通过解这些三角形，得出实际问题的解.跟踪训练3—船以每小时15km的速度向东航行，船