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1、高三年级培尖补差教案-------函数与方程【概念定理】1．函数零点的概念：对于函数，方程的实数根叫做函数的零点。2．函数零点与方程根的关系：方程有实数根函数的图象与有点函数有零点.判断一个函数是否有零点，有几个零点，就是判断方程是否有实数根，有几个实数根。3．函数零点的存在性定理：如果函数在区间上的图象是连续不断的曲线，并且有，那么，函数在区间内有零点，即存在，使得，这个也就是方程的根。但要注意：如果函数在上的图象是连续不断的曲线，且是函数在这个区间上的一个零点，却不一定有注：若恒成立，则没有零点。【技巧平台】1.对函数零点的理解及补充（1）若在处其函数值为
2、0，即，则称为函数的零点。（2）若函数在区间上的图像是一条连续的曲线，则是在区间内有零点的充分不必要条件。（3）一般结论：函数的零点就是方程的实数根。从图像上看，函数的零点，就是它图像与交点的横坐标。（4）更一般的结论：函数的零点就是方程的实数根，也就是函数与的图像交点的横坐标。2.函数零点个数（或方程实数根的个数）确定方法1)代数法：函数的零点的根;2)几何法：对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数的图象联系起来，并利用函数的性质找出零点。3)注意二次函数的零点个数问题有2个零点有两个不等实根;有1个零点有两个相等实根无零点无实根;对于二次函数在区间上的零
3、点个数，要结合图像进行确定3.一元二次函数的零点、一元二次方程的根、一元二次不等式的解集之间的关系。为学习的方便，在解一元二次不等式和一元二次方程时，把二次项系数化为正数，（1）恒成立，恒成立（2）的解集为R；的解集为R（3）对于二次函数在区间上的最值问题.4.二次方程f(x)=的实根分布及条件。①方程f(x)=0的两根中一根比r大，另一根比r小a·f(r)<0；②二次方程f(x)=0的两根都大于r③二次方程f(x)=0在区间(p，q)内有两根④二次方程f(x)=0在区间(p，q)内只有一根f(p)·f(q)<0，或f(p)=0(检验)或f(q)=0(检验)检
4、验另一根若在(p，q)内成立。5.构造函数解不等式恒成立的问题5（1）含参数的不等式恒成立问题，若易于作出图像，则用图像解决，若不易作图，可分离参数（2）恒成立，恒成立（注意等号是否成立）（3）有解，有解（4）在区间上恒成立在上大于06.函数零点个数的确定方法:①一元二次方程常用判别式来判断根的个数;一元方程最多有个实数根,一般常用分解因式进行求解;②指数函数与对数函数等超越函数的零点个数问题,常用图象进行解决;③利用函数的单调性(通过求导来确定函数的单调区间)来判断函数零点的个数.④对于函数的零点个数问题，可画出两个函数图像，看其交点个数有几个，则这些交点横
5、坐标有几个不同的值就有几个零点。⑤方程的根或函数零点的存在性问题，要以根据区间端点处的函数值乘积的正负来确定。但要确定零点的个数还需进一步研究函数在区间上的单调性，在给定的区间上，如果函数是单调的，它至多有一个零点，如果不是单调的，可继续细分出小的单调区间，再结合这些小的区间的端点处的函数值的正负，作出正确的判断。⑥要特别注意数形结合解出方程解的个数的问题。7.用二分法求方程的近似解:(1)二分法的定义:对于在区间上连续不断且的函数,通过不断地把函数的零点所在的区间一分为二,使区间的两个端点逐步逼近零点,进而得到零点的近似值的方法叫做二分法;(2)用二分法求方
6、程的近似解的步骤:①确定区间,验证,给定精确度;②求区间的中点;③计算;(ⅰ)若,则就是函数的零点;(ⅱ)若,则令(此时零点);(ⅲ)若,则令(此时零点);④判断是否达到精确度,即,则得到零点近似值为(或);否则重复②至④步.【例题精讲】例1.求下列函数的零点.(1);(2);(3)分析:将以上函数分解因式后,令其等于零求解.解:(1),令,解得,即函数的零点为;(2),令,解得或,即函数的零点为或.(3)解:令,化得,解得或或,所以函数的零点分别为或或.例2.已知函数的两个零点都在内,求实数的取值范围.分析:这类题为方程的是实根分布问题,要注意结合图象，从韦
7、达定理、对称轴、函数值的符号及开口方向等方面去考虑，使结论成立的所有条件.解:设函数的两个零点为与,且,则,化简得解得所以实数的取值范围为例3．函数的零点一定位于区间（）.A.(1,2)B.(2,3)C.(3,4)D.(4,5)解：易知函数在定义域内是增函数.∵，，.∴，即函数的零点在区间(2,3).所以选B.例4．求证方程在内必有一个实数根.证明：设函数.由函数的单调性定义，可以证出函数在是减函数.而，，即，说明函数在区间内有零点，且只有一个.所以方程在内必有一个实数根.5例5．（1）若方程在内恰有一解,求实数的取值范围.（2）已知函数，若在上存在，使，求实
8、数m的取值范围.解：（1）设函数，由题
