大学微积分经济管理类

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1、微积分章学诚刘西垣编著普通高等教育“十一五”家级规划教材(经济管理类)第三章第三章导数和微分3.33.53.2导数概念求导法则基本求导公式高阶导数函数的微分导数和微分在经济学中的简单应用3.43.63.12第三章导数和微分他以几乎神一般的思维力，最先说明了行星的运动和图像，彗星的轨道和大海的潮汐．——牛顿墓志铭（微积分）是由牛顿和莱布尼茨大体上完成的，但不是由他们发明的．——恩格斯3.13.23.33.43.53.63微积分学大致产生于17世纪下半叶，在整个数学发展史上是自欧几里得几何学(约建立于公元前3世纪)之后的一个最大的创造．虽然它的

2、思想萌芽可追溯到古希腊时期，但它的创立，首先是为了解决17世纪所面临的许多科学问题．一元函数微积分可分成一元函数微分学和一元函数积分学两部分．微分学是积分学的基础．导数（或微商）和微分是一元函数微分学中两个密切相关的基本概念．4引发导数概念的问题主要有：1)已知直线运动的路程函数s(t)，求物体运动的速度v；2)求曲线的切线；3)求函数的最大、最小值．这些问题最终可归结为求一个函数的因变量相对于自变量变化的快慢，即“变化率”，这就是函数的导数概念．从局部来看,微分是函数的线性近似,它在一元函数积分学中起重要作用．导数可以看成是函数的微分与自

3、变量的微分之比,故又称微商．本章主要阐述函数的导数和微分的概念以及它们之间的关系，并给出它们的运算法则和计算方法，最后介绍导数和微分概念在经济学中的简单应用．53.1导数概念3.1.13.1.23.1.33.1.4两个经典问题导数概念和导函数单侧导数函数可导与连续的关系63.1.1两个经典问题在阐述函数的导数概念之前,先介绍两个古典的例子．例1曲线的切线.在17世纪,为了设计光学透镜和了解行星的运动方向,必须知道曲线的切线．大家知道,圆的切线是与圆只有一个交点的直线．但这样认识曲线的切线没有普遍意义.给定曲线C：y=f(x)(x∈D),假设

4、U(x0)是点x0的一个邻域，U(x0)D,则P0(x0,f(x0))∈C.现在的问题是：什么是曲线C在点P0处的切线？这切线的斜率如何计算？7给定曲线C：y=f(x)(x∈D)，假设U(x0)是点x0的一个邻域,U(x0)D,则P0(x0,f(x0))∈C.现在的问题是:什么是曲线C在点P0处的切线？这切线的斜率如何计算？设x∈U(x0),x≠x0,且点P(x,f(x))∈C,则直线P0P称为C的割线.当点P沿曲线C趋于P0时,如果P0P绕点P0旋转而趋于一个极限位置P0T,则直线P0T就称为曲线C在点P0处的切线(如图3-1),即:

5、当点时,直线P0P切线P0T.为确定切线P0T,关键是要求出它的斜率k=tana,其中a是P0T的倾角．图3-18为此,设割线P0P的倾角为j,记Δx=x-x0，Δy=f(x)-f(x0)=f(x0+Δx)-f(x0)，则而点PP0等价于xx0，即Δx0．故若切线P0T存在，则有即切线P0T的斜率(3.1)求出了切线P0T的斜率,切线P0T也就确定了．图3-19例2直线运动的瞬时速度.设一物体做直线运动,其运动方程为s=s(t)(0≤t≤t1),其中s(0)=0，它表示物体行走的路程s与所经历的时间t之间的关系（如图3-2）．设t0

6、,t0+Δt∈[0,t1],则在时间段[t0,t0+Δt](设Δt>0)内物体行走的路程Δs=s(t0+Δt)-s(t0).在这时间段内物体的平均速度如果物体做匀速直线运动，则其平均速度v是一个常数，与t0和Δt无关，这是最简单的直线运动．图3-2在自然界和日常生活中人们所遇到的直线运动大多是非匀速运动，例如自由落体，下落的时间越久，在单位时间内下落的距离越大，即它是一个变速运动.在这种情况下，平均速度不能精确地刻画物体的运动状况．随之就提出了瞬时速度的概念．10例2直线运动的瞬时速度.如果极限存在，就称此极限值为物体在时刻t0的瞬时速度，

7、简称速度，记为v(t0).所以(3.2)对于曲线运动,其速度不仅有大小,还有方向,速度的方向就是曲线的切线方向.人类在研究天体的运动时,必须知道天体运动的速度.速度的概念对于理解物体的运动具有极其重要的意义.113.1.2导数概念和导函数上面例1中的切线问题是一个几何问题,而例2中的速度则是一个力学概念,在计算切线的斜率和运动的速度时都要遇到函数值的增量与自变量的增量之比的极限,它们的抽象就导致函数的导数概念．定义1设函数y=f(x)在点x0的某一邻域U(x0)上有定义.如果对于自变量x在点x0的增量Δx(x0+Δx∈U(x0)）和相应的函

8、数值的增量Δy=f(x0+Δx)-f(x0),比值当Δx→0时有极限,则称函数f(x)在点x0可导,并称此极限为函数f(x)在点x0的导数（或微商）,记为f(x0),即(3.3