大学微积分经济管理类

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1、微积分章学诚刘西垣编著普通高等教育“十一五”家级规划教材(经济管理类)第四章第四章微分中值定理和导数的应用4.34.54.2微分中值定理洛必达法则函数的单调性曲线的上、下凸性和拐点函数的极值与最值渐近线和函数作图4.44.64.12第四章微分中值定理和导数的应用4.14.24.34.44.54.6数学是科学的大门和钥匙.——培根（R.Bacon，1214—1294）数学是科学和技术的基础；没有强有力的数学就不可能有强有力的科学．——美国国家研究委员会3小知识R.培根，英国方济各会修士，哲学家、科学家和教育改革

2、家，号称“万能博士”．他深知获取可靠知识的方法．在数学、力学、光学、天文学、地理学、化学、音乐、医学、文法、哲学、伦理学和神学等方面都有不平凡的著作，他强调数学和实验，在他的著作《大作》中曾企图证明所有科学都需要数学.但他也充分认识到实验对科学发现和验证理论的作用和重要性,并预见科学造福于人类的伟大前景.4导数概念刻画了函数的一种局部特性．联系导数和函数的纽带是微分中值定理,它是用导数来研究函数性态的理论基础,从而也成为导数应用的理论基础．本章首先介绍微分中值定理,随后以之为基础介绍了导数的几个重要应用：求未

3、定式的值（洛必达法则）,函数的单调性和曲线的上、下凸性（函数的凹凸性）及拐点的判定,函数的极值和最值的求法,以及绘制函数图形的基本方法．54.1微分中值定理4.1.14.1.24.1.34.1.4罗尔定理拉格朗日中值定理柯西中值定理泰勒公式64.1.1罗尔定理首先介绍发现于微积分产生之初的一个著名定理——费马引理,它具有重要的应用．费马(Fermat)引理设函数y=f(x)在点x0的一个邻域U(x0)上有定义,并在x0点可导．如果f(x)≥f(x0)(或f(x)≤f(x0))(x∈U(x0))，则f(x0

4、)=0．这个引理的几何含义是：在引理的假设下,点P0(x0,f(x0))位于曲线C：y=f(x)(x∈U(x0))的“谷底”（或“峰顶”）（如图4-1）,这时C在点P0的切线必是水平的．图4-17费马(Fermat)引理设函数y=f(x)在点x0的一个邻域U(x0)上有定义,并在x0点可导．如果f(x)≥f(x0)(或f(x)≤f(x0))(x∈U(x0))，则f(x0)=0．证设自变量x在点x0处有改变量Δx,且x0＋Δx∈U(x0),由假设,f(x0＋Δx)≥f(x0),从而函数f(x)相应的增量Δy

5、=f(x0＋Δx)－f(x0)≥0,故当Δx>0时当Δx<0时由极限的保号性质,有因f(x)在x0可导,故所以必有f(x0)=0.对于f(x)≤f(x0)(x∈U(x0))的情形,可以同样证明.8小知识费马(P.deFermat,1601—1665),法国数学家．与笛卡儿(R.Descartes,1596—1650)同时创立了解析几何，也是创立微积分的一位先驱．1629年他创造了求切线的方法,但直到1637年才在他的手稿《求最大值和最小值的方法》中被发现.费马初学法律,博览群书,年近30岁才利用公务之余钻

6、研数学，在数论、概率论等方面均有重大贡献.被誉为“业余数学家之王”,他只发表了很少几篇论文,在去世后，其子把他遗留在旧纸堆里、书页空白处和给朋友的书信中的很多论述汇集成书，于1679年分两卷出版.9通常称导数f(x)等于零的点为函数f(x)的驻点（或稳定点、临界点）.所以费马引理中的点x0是f(x)的驻点．罗尔(Rolle)定理设函数y=f(x)在[a,b]上连续,在(a,b)上可导,且f(a)=f(b),则ξ∈(a,b),使得f(ξ)=0．这个定理的几何意义是：如果光滑曲线Γ：y=f(x)(x∈[a,

7、b])的两个端点A和B等高,即其连线AB是水平的,则在Γ上必有一点C(ξ,f(ξ))(ξ∈(a,b)),Γ在C点的切线是水平的（如图4-2）．图4-210罗尔(Rolle)定理设函数y=f(x)在[a,b]上连续,在(a,b)上可导,且f(a)=f(b),则ξ∈(a,b),使得f(ξ)=0．从几何上来看,这时的曲线Γ或者就是直线段AB,此时AB上的任意一点的切线都是水平的；若Γ不是直线段,则Γ必有“谷底”或“峰顶”,设这样的点为C(ξ,f(ξ)),则ξ∈(a,b),且由费马引理,必有f(ξ)=0．罗尔定

8、理只是说明在给定的条件下,函数f(x)在(a,b)中必有驻点,没有说明ξ如何确定以及有多少个,但尽管如此,定理还是有其重要的理论价值．定理的证明就是上述几何事实的解析表述,在此从略.图4-211小知识罗尔(M．Rolle,1652—1719)，法国数学家，科学院院士，他在1691年证明了罗尔定理．12例1试判定函数f(x)=lnsinx是否满足罗尔定理的条件,若满足,求出它的驻点．解在上sinx>0