微积分及其应用（经济管理类）习题解答第4、5、7、8、章

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1、习题4.1当于是当<-4时另令则由上面的结果综上所述，可得(4)解：由于被积函数的定义域是或两个区间，我们分区间进行讨论当时，令则则当时令则由上面的结果综上所述48/484．求下列不定积分（1）.解：令通分并比较两边的系数得则（2）.解：令则（3）解：令则（4）解：令易见则48/484．44．（1）由于则则由定积分的性质可得（2）由于有，则由定积分的性质可得5.（1）令由于在上单调递增，则对任意的有的最大值、最小值分别为，则由定积分的估值不等式可得即（2）由估值不等式可知只需求在上的最大值和最小值即可令得由于，则由于则48/486．证明：若使，使得则这是矛盾故对任意的，

2、4.51.判断①②③2.解：（1）由积分上限函数的导数公式（2）3．（1）（2）4.解：由于则，5.解：（1）（2）48/48（3）（4）6.解：由，解得。又由于易见则为函数的极小值点，极小值为04.61.①令则，当时，时。则②③=④2.①令则，时，时48/48②令，则，。时，。时，③令，则，，当时，当时④令，，当时，当时3．①令则，当时，时=②令则，当时，。当时，48/48③④令则，当时，当时4.解：=4．71.①②③由于48/48则④⑤⑥由于故则⑦=由于故广义积分发散。48/481.解：2.解：令则，则3.解：由于故时，广义积分收敛。故时，广义积分发散。4.81.解

3、：面积3.解：4.解：5.解：48/486.解：第一个五年的总产量为第二个五年的总产量为7.解：（1）由于总收益是边际收益在上的定积分，所以生产单位时的总收益为则生产50个单位时的总收益为（2）由边际收益的意义可知，当生产单位时，再增加1个单位时的收益为则生产100个单位时，再生产1个产品，收益为，生产101个单位时再生产1个产品，收益为，则生产100个单位时的总收益为习题四1。填空题①充分②③④必要⑤2．判断题①×②×③×④√⑤√3．计算。①②48/48又由于则原式=③解：④⑤令则，当时，当时⑥⑦48/48则广义积分发散。4.（1）当时由于连续，则连续，且，则则又由于

4、令，则处处连续。1.由于则则或2.解：（1）由于曲线与曲线在点处有公共切线，则48/48即，将其代入则由可得则（2）曲线与的两交点分别为5.证明题：（1）．证明：由于在上连续，则由积分中值定理可知使得则由于在内则在内单调递减，又由于则故，有即在内单调减少。（2）.由于在上连续且不变号，不妨令且在上连续，由于在上连续，则一定存在最大值和最小值既有则有即则由介值定理可得，存在，使得48/48即第五章练习5-12.解：(1)微分方程分离变量得两端积分得通解：(2)将代入(1)中的通解可得，即，所求特解为(3)*所求曲线与给定直线相切，设切点为，则有，切点与直线的距离，即，即所

5、求解为.3.解：(1)1阶；线性；(2)二阶；线性；(3)三阶；非线性练习5-21.(1)解：原微分方程分离变量得积分得，即得,为任意常数.(2)解：原微分方程分离变量得，积分得即，所以，原微分方程的解为.(3)解：原微分方程变形得，令，得48/48，即，积分可得(4)解：令则则原微分方程变为，即，分离变量得，积分得，即.√(5)解：令则；，原方程可化为（＊）令可得，则（＊）式为齐次方程，可解得通解将带入可得原方程的通解为(6)解：令则，原方程可变形为两边积分可得再将代回得原微分方程的解为.(7)解：原方程变形得，令可得，且，所以上式两端积分得，即原方程的解为.48/4

6、8(8)解：原微分方程变形可得，所以令则方程变为，两端积分得，将代入得原方程的解.2.(1)解：原方程可变形为把看作的函数，则它是关于的一阶非齐次线性微分方程，因此，齐次方程的通解为，令，且为非齐次方程的解，代入方程有，即有，所以，即原微分方程的解为(2)解：原方程可化为，分离变量得，因此积分得原微分方程的解(3)解：时，原方程可化为，即关于的一阶非齐次线性微分方程，对应齐次方程的通解为，令原非齐次方程的解为，代入原方程得，即有，，所以原微分方程的通解为，又也是原方程的一个解.48/48(4)解：令，则，因此，即有，是一齐次方程，令，则方程变形为，积分得，即，将代入可得

7、原微分方程的解为.(5)解：将原方程移向变形为这是一齐次方程，令带入可得，积分得通解为，将带入即得原方程的通解为√(6)解：解：令则；，原方程可化为（＊）令可得，则（＊）式为齐次方程，可解得通解将带入可得原方程的通解为(7)解：方程变形为，令，则原方程化为，两端积分得，将代入即得原方程的解（），48/48另也是原方程的解.3.(1)解：这是一非齐次线性微分方程，对应的齐次方程为，其通解为，令，令原非齐次方程的解为，则有，即，，所以，原微分方程的解为.(2)解：原方程可化为，即，令为的函数，则是一一阶非齐次线性微分方程，对应的齐次方程的通解