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《2002-2012女子数学奥林匹克CGMO》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在行业资料-天天文库。
1、24中等数学●竞赛之窗●首届女子数学奥林匹克(2002O08O16～08O17,珠海)第一天Pi,Pi,⋯,Pi,这样,就得到了1,2,⋯,8的一个排列128一、求出所有的正整数n,使得20n+2能整除i1,i2,⋯,i8(在图1中,此排列为2,1,8,3,7,4,6,5).2003n+2002.设这8个点对平面上所有有向直线作射影后,得到的二、夏令营有3n(n是正整数)位女同学参加,每不同排列的个数为N8=N(A1,A2,⋯,A8),试求N8天都有3位女同学担任值勤工作.夏令营结束时,发的最大值.现这3n
2、位女同学中的任何两位,在同一天担任值勤工作恰好是一次.(1)问:当n=3时,是否存在满足题意的安排?证明你的结论;(2)求证:n是奇数.三、试求出所有的正整数k,使得对任意满足不等式图1222k(ab+bc+ca)>5(a+b+c)的正数a、b、c,一定存在三边长分别为a、b、c的三参考答案角形.3一、显然,2
3、n.令n=2m(m∈N),则四、⊙O1和⊙O2相交于B、C两点,且BC是(20m+1)
4、(2003m+1001).⊙O1的直径.过点C作⊙O1的切线,交⊙O2于另一因2003m+1001=100(2
5、0m+1)+3m+901,点A,连结AB,交⊙O1于另一点E,连结CE并延长,故(20m+1)
6、(3m+901).交⊙O2于点F.设点H为线段AF内的任意一点,连3m+901易知=1,2,3,4时都无正整数解.因此,结HE并延长,交⊙O1于点G,连结BG并延长,与20m+1AHAC3m+901896AC的延长线交于点D.求证:=.≥5,可知m≤<10.但对m=1,2,⋯,9HFCD20m+197第二天逐一检验知(20m+1)8(3m+901).所以满足题设要五、设P1,P2,⋯,Pn(n≥2)是1,2,⋯,
7、n的任意求的n不存在.一个排列.求证:另解:同上,(20m+1)
8、(2003m+1001).111由(20m+1,20)=1,++⋯+P1+P2P2+P3Pn-2+Pn-1(2003m+1001)×20-(20m+1)×2003=1n-118017可知,(20m+1)
9、18017.注意到18017=43×+>.Pn-1+Pnn+2419,43、419为素数,故20m+1=43,419,18017,但均yx-y六、求所有的正整数对(x,y),满足x=y.无正整数解.所以,不存在满足题设要求的n.七、锐角△AB
10、C的三条高分别为AD、BE、CF.求二、(1)当n=3时,存在满足题意的安排.具体证:△DEF的周长不超过△ABC周长的一半.安排如下(把9位女同学记为1,2,⋯,9):八、设A1,A2,⋯,A8是平面上任意取定的8个(1,2,3),(1,4,5),(1,6,7),(1,8,9),(2,4,6),点,对平面上任意取定的一条有向直线l,设A1,A2,(2,7,8),(2,5,9),(3,4,8),(3,5,7),(3,6,9),⋯,A8在该直线上的射影分别是P1,P2,⋯,P8.如果(4,7,9),(5,6,
11、8).这8个射影两两不重合,依直线l的方向依次排列为(2)任意选一位女同学,因为她和其他每一位女2003年第1期25同学恰好值勤一次,并且每天有3人值勤,所以,其余AHsin∠HEA3n-1位女同学两两成对.HE故2
12、(3n-1).所以,n是奇数.=,sin∠HAE222三、因(a-b)+(b-c)+(c-a)≥0,HF222sin∠FEH故a+b+c≥ab+bc+ca.可知k>5.注意到k为正整数,因此,k≥6.=HE,sin∠HFE由于不存在边长分别为1、1、2的三角形,依题AHcosβ设,有即=,图2
13、HEcosα222k(1×1+1×2+1×2)≤5(1+1+2),HFsinβ=.即k≤6.HEsinα以下证明k=6满足题设要求.两式相除得AH=tanα.①HFtanβ不妨设a≤b≤c,则AC6(ab+bc+ca)>5(a2+b2+c2),在Rt△ABC中,=tanα;BC222CD即5c-6(a+b)c+5a+5b-6ab<0.在Rt△BCD中,=tanβ.222BCΔ=[6(a+b)]-4×5(5a+5b-6ab)ACtanα=64[-(a-b)2+ab]两式相除得=.②CDtanβ2≤64ab≤6
14、4a+b=16(a+b)2.由①、②知 AH=AC.2HFCD因此,可得五、根据柯西不等式,有11c<6(a+b)+Δ≤6(a+b)+4(a+b)+⋯+[(P1+P2)+⋯1010P1+P2Pn-1+Pn2=a+b.+(Pn-1+Pn)]≥(n-1).这表明以a、b、c为长度可构成三角形.则1+⋯+1P1+P2Pn-1+Pn以下是证明k=6满足题意的其他一些方法.2(n-1)方法一:不妨设a≤b≤c.若c≥a+b
