CGMO2015_2015第14届中国数学女子奥林匹克试题及答案.doc

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1、2015中国女子数学奥林匹克第一天2015年8月12日　上午8:00~12:00广东深圳　深圳市高级中学OMFEDCBA1．如图，在锐角△ABC中，AB>AC，O为外心，D为边BC的中点．以AD为直径作圆与边AB、AC分别交于点E、F．过D作DM∥AO交EF于点M．求证：EM=MF．（郑焕供题）2．设，且求证：对于任意实数，和中都至少有一个不小于．（李胜宏供题）3．把12×12的方格纸的每个单位方格染成黑色或白色，使得由方格线围成的任意一个3×4或4×3的长方形内都至少有一个黑色单位方格．试求黑色单位方格个数的最小值．（梁应德供题）4．

2、对每个正整数，记为与2015的最大公约数，求满足下列条件的有序三元数组的个数：1)；2)这七个数两两不同．（王彬供题）中国女子数学奥林匹克第二天2015年8月13日　上午8:00~12:00广东深圳　深圳市高级中学95．有多少个不同的三边长为整数的直角三角形，其面积值是周长值的999倍？（全等的两个三角形看作相同的）（林常供题）6．如图，两圆外离，它们的一条外公切线与分别切于点，一条内公切线与分别切于点．设是直线的交点，是上一点，过作的切线与线段的中垂线交于点，过作切于点．求证：．（付云皓供题）Γ2Γ1MGFEDCBA7．设，．求证：．

3、（王新茂供题）8．给定整数．黑板上写着个集合，然后进行如下操作：选取黑板上两个互相不包含的集合，擦掉它们，然后写上和．这称为一次操作．如此操作下去，直到任意两个集合中都有一个包含另一个为止．对所有的初始状态和操作方式，求操作次数的最大可能值．（朱华伟供题）试题解答OMFCDBEAN图11．如图，在锐角△ABC中，AB>AC，O为外心，D为边BC的中点．以AD为直径作圆与边AB、AC分别交于点E、F．过D作DM∥AO交EF于点M．求证：EM=MF．9证明如图，连接DE、DF，过O作ON⊥AB交AB于点N．由题意可知，DE⊥AB，DF⊥AC

4、．因此，ON∥DE．又因为DM∥AO，所以∠EDM=∠AON．因为O为△ABC外心，所以∠AON=∠ACB．从而∠EDM=∠ACB．同理可得，∠FDM=∠ABC．在△EDF中，有，即EM=MF．2．设，且求证：对于任意实数，和中都至少有一个不小于．证明由于，与皆为正数，因此对任意实数，而又，故．问题得证．3．把12×12的方格纸的每个单位方格染成黑色或白色，使得由方格线围成的任何3×4和4×3长方形内都至少有一个黑格．试求黑格个数的最小值．解所求黑格个数的最小值．先证明．由于12×12单位方格纸可划分为个（除边界外）互不相交的3×4方格

5、长方形．由题设可知这些长方形各至少有一个黑色方格，故至少要涂12个黑色方格．要证明，只需构作一个可行的例子，见下图．94．对每个正整数，记为与2015的最大公约数，求满足下列条件的有序三元数组的个数：1)；2)这七个数两两不同．解分解质因数．是2015的约数，只有8种情况．我们把满足的叫做零型数，把满足取或或的叫做一型数，把满足取或或的叫做二型数．我们使用下面两个简单的事实：对任意整数，，因此本题可以看做在模2015意义下讨论，即模2015同余的两个数看成相同．对素数，若,两者都成立则，若恰有一个成立则．把满足条件三元组对应为七元组，我

6、们考虑A的七个位置上的数的值的分布．首先这七个值不能有2015，否则，若某个位置上的数是2015的倍数，则A中存在另外两个位置上的数满足或，这样就有，矛盾．所以七个值必须是1,,,,,,各一个．这样A的七个位置必须是3个二型数、3个一型数、一个零型数．我们关心三个二型数在哪三个位置上．设是5,13,31的任意排列，若满足，，，则有，，，可得，同理有，，．因此当确定A中的三个二型数的位置后，如果其它四个位置可以分别表示为的3个两两线性组合与三个数的线性组合(要求线性组合系数是)，我们就可断定A中的七个位置的值互不相同，我们把这种可以线性组

7、合成功表示的三个二型数的一组位置叫做合理位置．在一组合理位置上，当我们确定的取值(模2015意义下)后，七元组A也被唯一决定了．在模2015意义下，满足的恰好有个，满足的恰好有个，满足的恰好有个，此外的顺序或者说的顺序可以调换，因此每组合理位置下，的取值有种可能，也就恰好对应8640个满足条件的三元组．我们关心哪组位置可能是合理的．对素数，七元组A中恰好有3个位置是的倍数，若这三个位置至少有两个的倍数，不妨设，则在此前提下并且，这时A中不能恰有3个位置是9的倍数．所以,,的素因子个数总共不超过3，这三个位置上至多有一个二型数，也就是这四

8、个位置上有2或3个二型数．若中有三个二型数，二型数的位置有4种可能情况：若是三个二型数，则,,是三个一型数，是零型数，位置合理．若是二型数，则，，位置合理．同理其他两种位置也是合理的．若中恰有两个二型数，我