2008年第7届中国女子数学奥林匹克(cgmo)试题(含答案)

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1、2008年第七届中国女子数学奥林匹克2008年第七届中国女子数学奥林匹克竞赛于8月11日至8月18日在广东省中山纪念中学隆重举行。中国数学奥林匹克竞赛委员会主席王杰教授，广东省教育厅副厅长叶小山，中山市人大常委会副主任吴建新，中山市教育局局长刘传沛、副局长周信、中山纪念中学校长贺优琳等领导及专家出席了开幕式。共有48支队伍参与参赛，其中有来自美国、菲律宾、中国香港和澳门特别行政区的8支参赛队伍，参赛选手180余人。中国女子数学奥林匹克竞赛始于2002年，每年举办一次，至今成功举办六届，吸引了来自国内外众多女子精英。该活动的主要目的是提高女中学生学习数

2、学的兴趣和信心，提升女中学生数学素质的整体水平。她们除了参加两次数学比赛外，还组织了健美操比赛和其它娱乐活动。数学考试分一试和二试，选手个人总成绩为一、二试得分之和。个人按比赛成绩角逐15块金牌、30块银牌、45块铜牌。本次活动的主试委员会由朱华伟、叶中豪，冯祖鸣，刘诗雄，李胜宏，李伟固，郑焕，邹宇，梁应德，熊斌等专家组成。1．(a)问能否将集合表示为它的32个三元子集的并集，且三元子集的元素之和都相等；(b)问能否将集合表示为它的33个三元子集的并集，且三元子集的元素之和都相等．(刘诗雄供题)2．已知实系数多项式有三个正根，且．求证：．①(朱华伟供

3、题)3.求最小常数，使得对正方形内部任一点，都存在中的某两个三角形，使得它们的面积之比属于区间．(李伟固供题)4．在凸四边形ABCD的外部分别作正三角形ABQ，正三角形BCR，正三角形CDS，正三角形DAP，记四边形ABCD的对角线之和为x，四边形PQRS12的对边中点连线之和为y，求的最大值．(熊斌供题)5．已知凸四边形ABCD满足AB＝BC，AD＝DC．E是线段AB上一点，F是线段AD上一点，满足B，E，F，D四点共圆．作△DPE顺向相似于△ADC；作△BQF顺向相似于△ABC．求证：A，P，Q三点共线．(叶中豪供题)（注：两个三角形顺向相似是指

4、它们的对应顶点同按顺时针方向或同按逆时针方向排列．）6.设正数列满足及．求正实数，使得当时，有单调性；当时，不具有单调性．(李胜宏供题)127.给定一个2008×2008的棋盘，棋盘上每个小方格的颜色均不相同．在棋盘的每一个小方格中填入，，，这4个字母中的一个，若棋盘中每一个2×2的小棋盘中都有，，，这4个字母，则称这个棋盘为“和谐棋盘”．问有多少种不同的“和谐棋盘”？(冯祖鸣供题)8．对于正整数，令．求证：数列中有无穷多个奇数和无穷多个偶数．([x]表示不超过x的最大整数)(冯祖鸣供题)参考答案1、解：(a)不能．因为．(b)能．每个三元集的元素和

5、为．将每两个一组，分成33个组，，每组两数之和可以排成一个公差为1的等差数列：．故如下33组数，每组三个数之和均相等：．注：此题的一般情况是设集合的三元子集族，满足．记，求所有的整数，使对任意，．解：首先，，即．所以，为奇数．又当为奇数时，可将每两个一组，分成个组，每组两数之和可以排成一个公差为1的等差数列：12；．其通项公式为易知为一常数，故如下组数每组三个数之和均相等：；．当为奇数时，依次取上述数组为，则其为满足题设的三元子集族．故为所有的奇数．2、证明：设实系数多项式的三个正根分别为，，，由韦达定理有，，．由，可得，故．不等式①两边同除以，不等

6、式①等价于，，②因为，，大于0，所以也就是同理三个不等式相加可得不等式②，当且仅当时不等式等号成立．123、解：．首先证明，记．不妨设正方形边长为．对正方形内部一点，令，，，分别表示，，，的面积，不妨设．令，如果，由，得，得．故，矛盾．故，这表明．反过来对于任意，取定，使得．我们在正方形内取点，使得，则我们有，由此我们得到对任意，有．这表明．4、解：若四边形ABCD是正方形时，可得．下面证明：．设分别是边DA，AB，BC，CD的中点，SP，PQ，QR，RS的中点分别为E，F，G，H．则是平行四边形．连接，设点M，N分别是DP，DS的中点，则，，12又

7、，所以，从而，△是正三角形．同理可得，△也是正三角形．设U，V分别是，的中点，于是有，同理可得，把上面两式相加，得，即．125、证明将B、E、F、D四点所共圆的圆心记作O．联结OB、OF、BD．在△BDF中，O是外心，故∠BOF＝2∠BDA；又△ABD∽△CBD，故∠CDA＝2∠BDA．于是∠BOF＝∠CDA＝∠EPD，由此可知等腰△BOF∽△EPD．①另一方面，由B、E、F、D四点共圆知△ABF∽△ADE．②综合①，②可知，四边形ABOF∽四边形ADPE，由此得∠BAO＝∠DAP．③同理，可得∠BAO＝∠DAQ．④③，④表明A、P、Q三点共线．12

8、【附注】事实上，当四边形ABCD不是菱形时，A、P、Q三点共线与B、E、F、D四点共圆互为充要条件．可利用同