2003女子数学奥林匹克

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1、26中等数学2003女子数学奥林匹克(Aw一08一27一08一28，武汉)巨的交点为E,F在DA的延长线上.连结BF',G在BA第一天的延长线上，使得DG//BF,H在GF的延长线上，1.已知D是△ABC的边AB上的任意一点，ECH土GF.证明:B,E,F,H四点共圆.是边ACL的任意一点，连结DE,F是线段DE上的4.(1)证明:存在和为1的五个非负实数a,b,。、么。，使得将它们任意放置在一个圆周上，总有两任意1点.设AED=!x，'AACF.二，，'DEF二:.证明:个相邻数的乘积不刁、于91'(1)S

2、}，(1一、)nsa-,S,}二x(t一r)(1一:)Snsc(2)证明:对于和为1的任意五个非负实数a、6,c,d,e，总可以将它们适当放置在一个圆周上，且(2)了See+了Svzr}了Spnec.2某班有47个学生，所用教室有6排，每排有8任意相邻两数的乘积均不大于去-个座位，用((i,1)表示位于第‘排第J列的座位.新学期准备调整座位，设某学生原来的座位为(i,l)，如第二天果调整后的座位为(m,n),则称该生作f移动「a，5.数列{0..}定义如下:目=[i一.,j一。」，并称a，二2,a=,.二a;

3、一气十1,n=1,2a十b为该生的位置数.11l所有学生的位置数之和证明:!一2丽3zao}rz,+蕊+++a-1记为S.求S的最大可能‘.给定正整数.(.--2).求最大的实数2,使得值与最小可能值之差.不等式武办,l(a,+吸十，一+a=_)+2a。对任何满3_如图1,ABCD是圆足at

4、数r(,--2)，总存在正整数N(r),则20=20-2'x22‘二20-"[1+(2‘一1)(2'+1)]当n}N(r)时，存在正整数a=a--,,，使得n==20-"+20-2'(2‘一1)b,+20-21(2‘一1)b,+伪+a2+·+“,I}a,<02<二

5、132N(k)，则l>-N(k)由归纳假设，存假设当;二k时结论成立.当r二k+1时，取在正整数。，。2，⋯Ice,使得N(k+1)二4N(k)',Z二c、+1,+‘t·+c=1城c‘

6、般结论对所有的。i2数b,,b2，一，b,，使得成立Zj+1=阮十如+⋯+姚,1《饥(凡(⋯<阮，(2004中国数学奥林匹克命题组提供)b:Ib.,i=1,2,0-,k一1_万方数据2004年第2期的三条内角平分线，且DE二HE证明:二LB从;+9(P+LBEF“(1)’击b'+c=-+b二LBGC+90十LBEE石气1干b'=LFEA+900+LBEF二1801.(2)LBAC>90`所以，R,E,F,H四点共圆.8.对于任意正整数n，记n的所有正约数组成的集合为S=.证明:S=中至多有一半兀素的个位数4.

7、(1)当。二“二一告,d=e=。时，把。、。、·、为3.d,e任意放置在个圆周上，总有两个告是相邻的参考答案它们的乘积不小于11.(I)如图2,有(2)不妨设a3b3。)S}，二.S,,_d}e30，把a,b,c,d,e按z(1一，)SL-图3所示放置.因为。十石十z(1一:)YS}aec,附c+d+e=1，所以，(=(l1一:)S-‘、气a+3d}1,一一1一:)(1一Y)See=自-一1一z)(卜y)zS}二，d}映23d''E41图2(2)由(1)得从而adF}2了亏硫离+挤亏丽人夕(1--)n+‘二(

8、t一Y)0一:)Ws。二又因为a+b+c号}l，所以*+·、号于是.竺业‘+G-=))b,--(b_+4-因为。E}Ead,bd},bc,所以，相邻两数的乘2设上学期(iu,ju)空位，新学期((i=j)空位积均小于去则s二【艺艺(i+j)一(‘。+扣)」S.由题设得叭1一1=",(a二一1)所以，了’。1]1[艺艺(i+j)一(i,、，.)」a=a一，一a，一1a..J二IJ二111一一+‘+j,