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1、抛物线的三个优美的弦方程（任勇中国政法大学刑事司法学院侦查班102249）关于抛物线的压轴题在历年高考中屡见不鲜，特别是抛物线的弦和切线问题常被设为考点。首先笔者向读者介绍一个形式优美的弦方程。设抛物线y2=2px（p>0）±两点4（兀］,必）、B（兀2，儿）。求弦的方程解：由于A、3均在抛物线上，所以二严
2、作差整理得，2心-兀2）-伉+以必-儿）=0而AB=（X］-£，）一儿），于是向量（2卩，一（）1+旳））是处的法向量设P（兀,y）是上任意点，于是AP=（X-兀］,y-yj故2p（x_兀］）_（%+力Xy-X）=0所以（X+y^y-2px=b+旳bi
3、一2px、=y2+）彳-2px,=y,y2因此弦AB的方程为yly2=（yi+y2）y-2px这就是我要说的弦方程。接下来谈谈由弦方程推导出切线方程。I古I定人让B靠近A,当A、B重合时，弦AB变为抛物线的切线，方程变为y,2=2y［y-2pxf即2/叭=2y*-2/zr,也即=p（x+xj这就是切线（特殊的弦）方程再接下来我们用切线方程推导出切点弦方程。过抛物线外一点Q（x°,y。）作抛物线的两条切线，切点为A、B,用Q坐标表示出切点弦A3的方程解：Q在A、B两处的切线上，于是有y*=p（x+坷）y2y=p{x+x1）这表明A、B均在直线儿，=/心+兀0）
4、上又因为过A、B两点有且只有一条直线故切点弦AB的方程为y（）y=p{x+x0）下面通过儿个例子来看看这三个方程的伟大之处。例1已知抛物线b=2px（p>0）上两点A（兀i,y）、B（x2,y2）,弦4B恒过焦点F求证：y』2=_#2证明：由弦方程得4B:y2=（y+y2）y-2px将F（2,0代入得卩力=~P212丿例2抛物线y2=2px{p>0）±A（Xj,y}）>B（x2,y2）,AB交y轴于C（0,y3）（y3H0）求证:丄+丄=丄y儿儿证明：将（O,yJ代入弦方程得，X”=4+儿）比所以—+—=丄例3抛物线y2=2px（/?>0）±两点A（兀］,y
5、j、B{x2,y2）,弦AB恒过焦点F,A、B两处的切线交于P,求证：P恒在抛物线的准线上证明：设P（x（）,y（J由切点弦方程得AB：y（）y=0（无+x（）~»0代入得0=p（x{}+可・・・x（）=-2故P恒在抛物线的准线上I2丿2例4抛物线y2=2px{p>O）±A（x,,y}）>B（x2,y2处的切线交于点P（兀（）,儿）求证：（1）>^+y2=2j0x/2=X（2）AP、BP垂直吋，P在抛物线准线上证明：（1）由切点弦方程得AB：yoy=p{x+x0）〉7"消去兀，整理得），-2九丁+2刃0=0［儿丁二"（兀+兀0）所以必+丁2=2儿=2px0
6、牡==巳可=°化）=对2/22p4p⑵A、B处切线方程为y』=#（x+兀Jy2y=p（x+x2）
7、±lAP>BP垂直，故於+必力=°，所以）卩2"P?=2pX°/.Xo=-
8、-故P恒在抛物线的准线上例5过抛物线y2=2px（p>0）±一定点P（x°,yo）作两条弦PA、PB求证：（1）PA、PB互相垂直时4B过定点，并求出该定点（2）kpA+kpB—OB'Jy（+儿=2y（）kAB——^―）o⑴证法一：设3（兀2，力）显然以、斜率存在且不为零设PA方程为兀一无°二附(y—y°)贝0PB：x-x0=_■(y-y0)mPA与)/=2“兀联立消去x得y2一2pmy
9、+2-x0)=0由根与系数关系得y}+y()=2pm:.x=2pm-j()用-■替换加，得y2=-—-yQmm将以上两式代入弦AB方程yiy2=(y^y2)y-2px整理得2#(y+y()仏-丄］+4p2-2yoy-2px-yl二0由于加为变量,仁囂仁/得ImJy=-Jo2兀=2〃+—=Xq+2/?2p・•・AB过定点，该定点为（x°+2-儿）证法二:设A{xx,y}）>B（兀2，儿）则〃：刃）卩=（儿+卩）歹一2〃兀刖：儿儿=（儿+力）卩-2〃兀AB:/%=b+丁2）歹一2/^因为PA丄PB所以（2卩,一（儿+必））・（2卩,一（儿+力））=0（・・・法向
10、量数量积为零）结合y：=2“兀。整理成弦方程的形式得y1）?2=5+儿）（-儿）-2卩（兀+兀0）与弦方程比较可知（兀+观，-儿）在弦AB上，由于兀0、儿为定值••・AB过定点，该定点为仇+2”,-儿）（2）证法一：显然PA、PB斜率存在且不为零设P4:设PA方程为兀-x（）=m（y-y（））贝ijPB：x-x{}=-m{y-y（））FA与y2=2px联立消去兀得y2-2pmy+2p（my0-x0）=0由根与系数关系得y+yQ=2pm:.yx=2pm-yQ用-加替换加，得y2=-2pm-yQ故y+『2=-2>o证法二：由弦方程得，kpA=———kpB=——
11、—x+九儿+儿..2p2p•・•kPA=—kpB••
