2013年全国高中数学联赛一试试题资料

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1、2013年全国高中数学联赛一试试题一．填空题：本大题共8小题，每小题8分，共64分。1.设集合，集合，则集合B中所有元素的和为2.在平面直角坐标系中，点A、B在抛物线上，满足，F是抛物线的焦点，则=3.在中，已知，则的值为4.已知正三棱锥的底面边长为1，高为，则其内切球半径为5.设a、b为实数，函数满足：对任意，有，则的最大值为6.从中任取5个不同的数，其中至少有2个是相邻数的概率为7.若实数x，y满足，则的取值范围是8.已知数列共有9项，其中，且对每个均有，则这样的数列的个数为二．解答题：本大题共3小题，共56分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。9.（本题满

2、分16分）给定正数数列满足这里.证明：存在常数,使得10.（本题满分20分）在平面直角坐标系中，椭圆的方程为，分别为椭圆的左、右顶点，分别为椭圆的左右焦点，为椭圆上不同于和的任意一点.若平面中有两个点满足,试确定线段的长度与的大小关系，并给出证明。11.（本题满分20分）设函数，求所有的正实数对，使得对任意实数均有2013年全国高中数学联合竞赛加试试题一．（本题满分40分）如图，AB是圆的一条弦，P为弧AB内一点，E、F为线段AB上两点，满足AE=EF=FB.连接PE、PF并延长，与圆分别项交于点C、D.求证：(解题时请将图画在答卷纸上)二．（本题满分40分）给定正整

3、数u、v.数列的定义如下：，对整数，记.证明：数列中有无穷多项是完全平方数。三．（本题满分50分）一次考试共有m道试题，n个学生参加，其中为给定的整数.每道题的得分规则是：若该题恰有x个学生没有答对，则每个答对盖提的学生得x分，未答对的学生得0分.每个学生的总分为其m道题的得分总和.将所有的学生总分从高到低排列为，求的最大可能值。四．（本题满分50分）设为大于1的整数，.证明：存在2k个不被n整除的整数，若将他们任意分成两组，则总有一组有若干个数的和被n整除。2013年全国高中数学联合竞赛一试试题参考答案及评分标准说明：1.评阅试卷时，请依据本评分标准。填空题只设8分

4、和0分；其他各题的评阅，请严格按照本标准评分档次给给分，不要增加其他中间档次。2.如果考生的解答和本解答的不同，只要给合理的思路、步骤正确，在评卷时可参考本评分标准适当划分档次评分，解答题中第9题4分为一个档次.第10、11小题5分为一个档次，不要增加其他中间档次.一．填空题：本大题共8小题，没小题8分，共64分.1.答案：-5【解答】易知.当时，，有；而当时，，有.因此，根据B的定义可知.所以，集合B中所有元素的和为-5.2.答案：2【解答】点F的坐标为（1,0）.设，则，故=即，故==23.答案：11【解答】由于，所以，故4.答案：【解答】如图，设球心O在面ABC

5、与面ABP内的摄影分别为H和K，AB中点为M，内切球半径为r,则P、K、M共线，，且,=,于是解得：1.答案：【解答】易知，则当即时，，故的最大值为2.答案【解答】设取自.若互不相邻，则由此可知从中取5个互不相邻的数的选法与从中取5个不同的数的选法相同，即种.所以从中任取5个不同的数，其中至少有2个是相邻的概率为：3.答案：【解答】令，此时，且条件中等式化为，从而满足方程：如图所示，在平面内，点的轨迹是以为圆心，为半径的圆在的部分，即点O与弧的并集，因此，从而1.答案：491.【解答】令，则对每个符合条件的数列，有且（）①反之，由符合条件①的8项数列可能唯一确定一个符

6、合题设条件的9项数列。记符合条件①的数列的个数为N，显然中有偶数个，即个；继而有个2，个1.当给定k时，的取法有种，易见k的可能值只有：所以因此，根据对应原理，符合条件的数列的个数为491.二．解答题：本大题共3小题，共56分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。9.【解答】当时，等价于对常数，用数学归纳法证明：时结论显然成立.又对，假设，则由式①可知=所以，由归纳法可知上式成立。9.【解答】令，则，，，.设，，其中，.由,可知：①②将①、②相减得：，即，将其代入①可得：故，于是根据,同理可得因此由于，故（其中等号成立的充分必要条件是，即点P的坐标是）10.【解答

7、】已知条件可以转化为：对任意实数，有①先寻求a、b所满足的必要条件，在①中令得：即对任意的实数x，有：由于，故可以取到任意大的值，因此必有，即：在①式中再令，得：，即对任意实数x,有②将②式的左边记作为，显然（否则，由可知，此时，其中，故可取到负值，矛盾），于是=对一切实数x成立，从而必有：，即进一步考虑到，再根据，可得：至此，求得满足的必要条件如下：③下面证明，对满足③的任意实数对以及任意实数，总有①成立，即：对任意取非负值。事实上，在③式成立时，有再结合，可得：==综上所述，所求的正实数对全体为2013年全国高中数学联赛加试试题参考答案及评分标准