全国高中数学联赛一试题.doc

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1、1995年全国高中数学联赛第一试卷一、选择题(每小题6分，共36分)1．设等差数列{an}满足3a8=5a13且a1>0，Sn为其前项之和，则Sn中最大的是()(A)S10(B)S11(C)S20(D)S212．设复平面上单位圆内接正20边形的20个顶点所对应的复数依次为Z1，Z2，…，Z20，则复数Z，Z，…，Z所对应的不同的点的个数是()(A)4(B)5(C)10(D)203．如果甲的身高数或体重数至少有一项比乙大，则称甲不亚于乙，在100个小伙子中，如果某人不亚于其他99人，就称他为棒小伙子，那么

2、，100个小伙子中的棒小伙子最多可能有()(A)1个(B)2个(C)50个(D)100个4．已知方程

3、x－2n

4、=k(n∈N*)在区间(2n－1，2n+1]上有两个不相等的实根，则k的取值范围是()(A)k>0(B)0

5、an1

6、题9分，共54分)1．设α，β为一对共轭复数，若

7、α－β

8、=2，且为实数，则

9、α

10、=．2．一个球的内接圆锥的最大体积与这个球的体积之比为．3．用[x]表示不大于实数x的最大整数，方程lg2x－[lgx]－2=0的实根个数是．4．直角坐标平面上，满足不等式组的整点个数是．5．将一个四棱锥的每个顶点染上一种颜色，并使同一条棱的两端点异色，如果只有5种颜色可使用，那么不同的染色方法的总数是．6．设M={1，2，3，…，1995}，A是M的子集且满足条件：当x∈A时，15xÏA，则A中元素的个数最多是．1995

11、年全国高中数学联赛第一试参考答案一、选择题(每小题6分，共36分)5/51．设等差数列{an}满足3a8=5a13且a1>0，Sn为其前项之和，则Sn中最大的是()(A)S10(B)S11(C)S20(D)S21解：3(a+7d)=5(a+12d)，Þd=－a，令an=a－a(n－1)≥0，an+1=a－an<0，得n=20．选C．2．设复平面上单位圆内接正20边形的20个顶点所对应的复数依次为Z1，Z2，…，Z20，则复数Z，Z，…，Z所对应的不同的点的个数是()(A)4(B)5(C)10(D)20解

12、：设z1=cosθ+isinθ，则zk=z1εk－1，其中ε=cos+isin．ε20=1．ε15=－i，ε10=－1，ε5=i．∴zk1995=(cos1995θ+isin1995θ)ε1995(k－1)=(cos1995θ+isin1995θ)(－i)k－1．∴共有4个值．选A．3．如果甲的身高数或体重数至少有一项比乙大，则称甲不亚于乙，在100个小伙子中，如果某人不亚于其他99人，就称他为棒小伙子，那么，100个小伙子中的棒小伙子最多可能有()(A)1个(B)2个(C)50个(D)100个解：把身

13、高按从高到矮排为1~100号，而规定二人比较，身高较高者体重较小，则每个人都是棒小伙子．故选D．4．已知方程

14、x－2n

15、=k(n∈N*)在区间(2n－1，2n+1]上有两个不相等的实根，则k的取值范围是()(A)k>0(B)0

16、x－2n

17、≥0，故k≥0，若k=0，可知在所给区间上只有1解．故k>0．由图象可得，x=2n+1时，k≤1．即k≤．故选B．又解：y=(x－2n)2与线段y=k2x(2n－1

18、(2n－1，2n+1]上有两个根．故△=(4n+k2)2－16n2>0．且(2n－1)2－(4n+k2)(2n－1)+4n2>0，(2n+1)2－(4n+k2)(2n+1)+4n2≥0，2n－1<2n+k2<2n+1．Þk≤．5．logsin1cos1，logsin1tan1，logcos1sin1，logcos1tan1的大小关系是(A)logsin1cos1