2013年全国高中数学联赛一试试题

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1、-2013年全国高中数学联赛一试试题一．填空题：本大题共8小题，每小题8分，共64分。设集合A2,0,1,3，集合BxxA,2x2A，则集合B中所有元素的和为1.2.xOy中，点AB在抛物线y24x上，满足OAOB4，F是抛物在平面直角坐标系、线的焦点，则SOFASOFB=3.在ABC中，已知sinA10sinBsinC,cosA10cosBcosC，则tanA的值为4.已知正三棱锥PABC的底面边长为1，高为2，则其内切球半径为设、为实数，函数f(x)axb满足：对任意x[0,1]，有f(x)1，则ab的最大5.ab值为6.从1,2,,20中任取5个不同的数，其中至少有2个是相邻数的概率为7

2、.若实数x，y满足x4y2xy，则x的取值范围是8.已知数列an共有9项，其中a1a91，且对每个i1,2,,8均有ai12,1,1，ai2则这样的数列的个数为二．解答题：本大题共3小题，共56分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。9.（本题满分16分）给定正数数列xn满足Sn2Sn1,n2,3,,这里Snx1xn.证明：存在常数C0,使得xnC2n,n1,2,10.（本题满分20分）在平面直角坐标系xOy中，椭圆的方程为x2y21(ab0)，a2b2A1,A2分别为椭圆的左、右顶点，F1,F2分别为椭圆的左右焦点，P为椭圆上不同于A1和A2的任意一点.若平面中有两个点Q,R满足QA1P

3、A1,QA2PA2,RF1PF1,RF2PF2,试确定线段QR的长度与b的大小关系，并给出证明。11（.本题满分20分）设函数f(x)ax2b，求所有的正实数对(a,b)，使得对任意实数x,y----均有f(xy)f(xy)f(x)f(y)----2013年全国高中数学联合竞赛加试试题一．（本题满分40分）如图，AB是圆的一条弦，P为弧AB内一点，E、F为线段AB上两点，满足AE=EF=FB.连接PE、PF并延长，与圆分别项交于点C、D.求证：EFCDACBD(解题时请将图画在答卷纸上)二．（本题满分40分）给定正整数u、v.数列an的定义如下：a1uv，对整数m1，a2mamu,a2m1am

4、v.记Sma1a2am(m1,2,).证明：数列Sn中有无穷多项是完全平方数。三．（本题满分50分）一次考试共有m道试题，n个学生参加，其中m,n2为给定的整数.每道题的得分规则是：若该题恰有x个学生没有答对，则每个答对盖提的学生得x分，未答对的学生得0分.每个学生的总分为其m道题的得分总和.将所有的学生总分从高到低排列为p1p2pn，求p1p2的最大可能值。四．（本题满分50分）设n,k为大于1的整数，n2k.证明：存在2k个不被n整除的整数，若将他们任意分成两组，则总有一组有若干个数的和被n整除。----2013年全国高中数学联合竞赛一试试题参考答案及评分标准说明：1.评阅试卷时，请依据本

5、评分标准。填空题只设8分和0分；其他各题的评阅，请严格按照本标准评分档次给给分，不要增加其他中间档次。2.如果考生的解答和本解答的不同，只要给合理的思路、步骤正确，在评卷时可参考本评分标准适当划分档次评分，解答题中第9题4分为一个档次.第10、11小题5分为一个档次，不要增加其他中间档次.一．填空题：本大题共8小题，没小题8分，共64分.1.答案：-5【解答】易知B2,0,1,3.当x2,3时，2x22,7，有2x2A；而当x0,1时，2x22,1，有2x2A.因此，根据B的定义可知B2,3.所以，集合B中所有元素的和为-5.2.答案：2【解答】点F的坐标为（1,0）.设A(x1,y1),B(

6、x2,y2)，则x1y12,x2y22，故444OAOB=x1x2y1y21(y1y2)2y1y216即1(yy8)20，故yy8161212SOFASOFB(1OFy1)(1OFy2)=12y1y2=2OF2243.答案：11【解答】由于sinAcosA10(sinBsinCcosBcosC)10cos(BC)10cosA，所以sinA11cosA，故tanA114.答案：26【解答】如图，设球心O在面ABC与面ABP内的摄影分别为H和K，AB中点为M，内切球半径为r,则P、K、M共线，PHMPKO，2且OHOKr,POPHOH2r,MH3AB366PMMH2PH2=2153,于是rOKsi

7、nKPOMH11262rPOPM5----2解得：r615.答案：4【解答】易知af(1)f(0),bf(0)，则abf(0)(f(1)f(0))(f(0)1f(1))21(f(1))21(f(1))212444当2f(0)f(1)1即a1时，ab1ab的最大值为1b，故4246.答案232323【解答】设a1a2a3a4a5取自1,2,,20.若a1,a2,a3,a4,a5互不相邻，则1a1a2