概率论与数理统计期末证明题专项训练教程

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1、证明题专项训练1.设总体X~N(0，),。是一个样本，求的矩估计量，并证明它为的无偏估计。2.设总体，参数已知，（>0）未知，为一相应的样本值。求的最大似然估计量。，并证明它为的无偏估计。3.设总体X服从未知。是X的一个样本，求的矩估计量，并证明它为的无偏估计。4.设，试证：。5.若随机变量，则.设随机变量与相互独立，且都服从正态分布，而和分别来自总体和的样本，试证统计量第3页共3页参考答案1.解:X的二阶矩为:1’X的二阶样本矩为1’令：,1’解得:,的矩估计量2’,它为的无偏估计量.3’2.解:似然函数为，相应的对数似然函数为。令对数似然函数对的一阶导数为零，得到的最大似然估计值

2、为2’,它为的无偏估计量.3.解:样本的似然函数为:2’而1’令:,1’第3页共3页解得:的最大似然估量2’,它为的无偏估计量.2’1.证明：因为，即（）2.解法一：的分布函数为（5分）令，得所以.（5分）解法二：令，则在上严格单调递增其反函数为，，（4分）的密度函数为所以.（6分）3.由于X1,X2,……,X9是来自正态总体的样本，且都服从标准正态分布N(0,1),则【】由于Y1,Y2,……,Y9相互独立，且都服从标准正态分布N(0,1)，则【】又因为两个随机变量X,Y相互独立由t分布可知【】即统计量Z服从t分布，参数为9，得证.第3页共3页