二次函数中的旋转、平移、对称变换教程

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1、二次函数中的旋转、平移、对称变换1、如图，已知抛物线y=x2+bx+c经过A（1，0），B（0，2）两点，顶点为D。（1）求抛物线的解析式；（2）将△OAB绕点A顺时针旋转90°后，点B落到点C的位置，将抛物线沿y轴平移后经过点C，求平移后所得图象的函数关系式；（3）设（2）中平移后，所得抛物线与y轴的交点为B1，顶点为D1，若点N在平移后的抛物线上，且满足△NBB1的面积是△NDD1面积的2倍，求点N的坐标。解：（1）已知抛物线y=x2+bx+c经过A（1，0），B（0，2），∴，解得，∴所求抛物线的解析式为y=x2-3x+2；（2）∵A（1，0），B（0，2）

2、，∴OA=1，OB=2，可得旋转后C点的坐标为（3，1），当x=3时，由y=x2-3x+2得y=2，可知抛物线y=x2-3x+2过点（3，2），∴将原抛物线沿y轴向下平移1个单位后过点C，∴平移后的抛物线解析式为：y=x2-3x+1；（3）∵点N在y=x2-3x+1上，可设N点坐标为（x0，x02-3x0+1），将y=x2-3x+1配方得，∴其对称轴为，时，如图①， 此时∴点N的坐标为（1，-1）；②当时，如图②，同理可得 此时∴点N的坐标为（3，1），综上，点N的坐标为（1，-1）或（3，1）。2、在平面直角坐标系中，矩形OABC如图所示放置，点A在x轴上，点B

3、的坐标为（m，1）（m＞0），将此矩形绕O点逆时针旋转90°，得到矩形OA′B′C′．（1）写出点A、A′、C′的坐标；（2）设过点A、A′、C′的抛物线解析式为y=ax2+bx+c，求此抛物线的解析式；（a、b、c可用含m的式子表示）（3）试探究：当m的值改变时，点B关于点O的对称点D是否可能落在（2）中的抛物线上？若能，求出此时m的值． 解：（1）∵四边形ABCO是矩形，点B的坐标为（m，1）（m＞0），∴A（m，0），C（0，1），∵矩形OA′B′C′由矩形OABC旋转而成，∴A′（0，m），C′（-1，0）；（2）设过点A、A′、C′的抛物线解析式为y=a

4、x2+bx+c，∵A（m，0），A′（0，m），C′（-1，0），∴，解得，∴此抛物线的解析式为：y=-x2+（m-1）x+m；（3）存在．∵点B与点D关于原点对称，B（m，1），∴点D的坐标为：（-m，-1），∵抛物线的解析式为：y=-x2+（m-1）x+m；假设点D（-m，-1）在（2）中的抛物线上，则y=-（-m）2+（m-1）×（-m）+m=-1，即-2m2+2m+1=0，∵△=22-4×（-2）×1=12＞0，∴此点在抛物线上，解得m=或m=（舍去）．3、在平面直角坐标系中，O为原点，点A（-2，0），点B（0，2），点E，点F分别为OA，OB的中点.若

5、正方形OEDF绕点O顺时针旋转，得正方形OE’D’F’，记旋转角为α.（Ⅰ）如图①，当α＝90°，求AE’，BF’的长；（Ⅱ）如图②，当α＝135°，求证AE’＝BF’，且AE’⊥BF’；（Ⅲ）若直线AE’与直线BF’相交于点P，求点P的纵坐标的最大值（直接写出结果即可）.4、如图，抛物线y=﹣x2+bx+c与x轴交于点A（﹣1，0），B（5，0）两点，直线y=﹣x+3与y轴交于点C，与x轴交于点D．点P是x轴上方的抛物线上一动点，过点P作PF⊥x轴于点F，交直线CD于点E．设点P的横坐标为m．（1）求抛物线的解析式；（2）若PE=5EF，求m的值；（3）若点E′

6、是点E关于直线PC的对称点，是否存在点P，使点E′落在y轴上？若存在，请直接写出相应的点P的坐标；若不存在，请说明理由．解：（1）将点A、B坐标代入抛物线解析式，得：，解得，∴抛物线的解析式为：y=﹣x2+4x+5．（2）∵点P的横坐标为m，∴P（m，﹣m2+4m+5），E（m，﹣m+3），F（m，0）．∴PE=

7、yP﹣yE

8、=

9、（﹣m2+4m+5）﹣（﹣m+3）

10、=

11、﹣m2+m+2

12、，EF=

13、yE﹣yF

14、=

15、（﹣m+3）﹣0

16、=

17、﹣m+3

18、．由题意，PE=5EF，即：

19、﹣m2+m+2

20、=5

21、﹣m+3

22、=

23、m+15

24、①若﹣m2+m+2=m+15，整理得：2m2﹣1

25、7m+26=0，解得：m=2或m=；②若﹣m2+m+2=﹣（m+15），整理得：m2﹣m﹣17=0，解得：m=或m=．由题意，m的取值范围为：﹣1＜m＜5，故m=、m=这两个解均舍去．∴m=2或m=．（3）假设存在．作出示意图如下：∵点E、E′关于直线PC对称，∴∠1=∠2，CE=CE′，PE=PE′．∵PE平行于y轴，∴∠1=∠3，∴∠2=∠3，∴PE=CE，∴PE=CE=PE′=CE′，即四边形PECE′是菱形．由直线CD解析式y=﹣x+3，可得OD=4，OC=3，由勾股定理得CD=5．过点E作EM∥x轴，交y轴于点M，易得△CEM∽△CDO，∴，即，解得CE

26、=

27、m

28、，