高数第一单元

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1、一、准则I及第一个重要极限二、准则II及第二个重要极限§1.6极限存在准则两个重要极限上页下页铃结束返回首页一、准则I及第一个重要极限如果数列{xn}、{yn}及{zn}满足下列条件(1)ynxnzn(n=123)准则I准则I如果函数f(x)、g(x)及h(x)满足下列条件(1)g(x)f(x)h(x)(2)limg(x)Alimh(x)A那么limf(x)存在且limf(x)A下页>>>第一个重要极限显然BCABAD(因此sinxxtanxDB1OCAx简要证明参看附图设圆心角AOB=x下页注:这是

2、因为令u=a(x)则u0于是下页第一个重要极限例1解解例2首页二、准则II及第二个重要极限注:如果xnxn+1nN就称数列{xn}是单调增加的如果xnxn+1nN就称数列{xn}是单调减少的单调增加和单调减少数列统称为单调数列下页准则II单调有界数列必有极限提问:收敛的数列是否一定有界？有界的数列是否一定收敛？M二、准则II及第二个重要极限准则II单调有界数列必有极限准则II的几何解释x1x5x4x3x2xnA以单调增加数列为例数列的点只可能向右一个方向移动或者无限向右移动或者无限趋近于某一定点A而对有界数列只可能

3、后者情况发生根据准则II数列{xn}必有极限,此极限用e来表示,即第二个重要极限e是个无理数它的值是e=2718281828459045下页二、准则II及第二个重要极限准则II单调有界数列必有极限可以证明(2)xn3(1)xnxn+1nN>>>下页第二个重要极限二、准则II及第二个重要极限准则II单调有界数列必有极限我们还可以证明这就是第二个重要极限根据准则II数列{xn}必有极限,此极限用e来表示,即可以证明(2)xn3(1)xnxn+1nN第二个重要极限二、准则II及第二个重要极限准则II单调有界数列必有

4、极限注:>>>解例3令t=-x则x时t于是结束