高数单元测验(三)答案

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1、…………………………………装…………………………………………………订…………………………………………………线…………………………………………….学院:专业年级:     姓名:     学号:     ……………………………...….密………………………………………...………封…………………………………………………线………………..………………………….…中国矿业大学(北京)2009级《高等数学单元测验三》试卷得分:一、填空题(每空3分,共34分(第10题4分))1.已知则。2.向量在向量上的投影等于。3.平面曲线绕轴旋转一周所生成的曲面方程为。4.曲线在xoy平面上的投影曲线为。5.过点

2、且与向量及平行的平面方程为。6.2。7.设,则。8.设函数具有二阶连续偏导数,则。9.设,则。10.设,则,沿梯度方向的方向导数=。二、计算题(每题9分,共36分)1.求过点且与直线垂直相交的直线方程。解:过点且与直线垂直的平面为:即:,则直线与平面的交点为:,,故交点,而,因此可取直线的方向向量,得所求直线方程为:2.设,试求。解:记,则,所以。3.设,求。解:对上述方程组两边对求导得由上式可得:4.求曲线上一点处的切线方程,且此切线与平面平行。解:曲线在点处的切向量为,平面的法向量为,依题意,故,即:,解得,因此,过点的切向量为,所求切线方程为:一、(5分)求锥面与柱面所围立体在面上的投

3、影区域,并画出此投影区域。解:在面上,立体由3个曲面围成,其交线在面上的投影为面上的曲线:所围的区域,即:.二、(10分)设,证明在点处连续且偏导数存在,但不可微分。证明:令,则当时,所以在点处连续。(解法二:由于所以,,因此在点处连续。)因此在点处偏导数存在。由于,不同,上述极限则不同,因此上述极限不存在,当然不趋于零,所以在点处不可微分。一、(15分)在椭球面第一卦限部分上求一点,使得椭球面在该点处的切平面在三个坐标轴上的截距的平方和最小。解:过点的切平面的法向量为,切平面的方程为:,即:由于点在椭球面上,所以,代入上式得切平面方程为:,平面在三个坐标轴上的截距分别为:则问题转化为求在附

4、加条件下的最小值问题。作拉格朗日函数解方程组,得由实际问题可知最小值一定存在,而点为唯一的驻点,故为所求的切点。

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