有限元试题及答案[1]

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1、一、如图所示的1D杆结构，试用取微单元体的方法建立起全部基本方程和边界条件，并求出它的所有解答。注意它的弹性模量为E、横截面积A解：如图1.1所示的1D杆结构，其基本变量为位移应变应力取微单元体，其应力状态如图1.2，由泰勒展开式知略去2阶以上的商阶微量知由力的平衡知：即力的平衡方程为：①位移由图1.3知（泰勒展开，略去商阶微量）即几何方程为：②根据虎克定律知③由①、②、③知该1D杆的基本方程为在节点1时位移：在节点2时应力：即其边界条件为onon由①式知④④代入③解得：⑤、为待定系数结合边界条件知解知得，∴二、设平面问题中的应力问题其中（

2、1、2、………9）为常数，令所有体积力为零，对下面特殊情况说明平衡是否满足？为什么？或者之间有什么关系才满足平衡。（1）除，，外，其余为零。（2）（1）（2）所有均为非零。解：对于此平面问题，由力的平衡方程（体积力为零）：可以得出（1）当除，，外，其余为零时，，平衡方程成立，故此情况下平衡。（2）当时，、并不一定为零，此情况下平衡方程并不一定成立，故此情况下不满足平衡，只有在时，才满足平衡。（3）当时，平衡方程成立，故此情况下满足平衡。（4）所有均为非零时，只有当，时，平衡方程才成立，才能够满足平衡，否则不平衡。三、下列应力分布是否满足平衡

3、条件（体积力为零），（2D平面应力问题），描述就如图所示平面结构，该应力函数所表示时得边界应力。解：根据力得平衡方程（体积力为零时）知上两个等式成立，即平衡方程成立，即此情况满足平衡条件。其边界应力，，，作图如下：故边界下应力如图2.2所示：其边界得剪应力如图2.3所示：四、如图所示已知，，（平面应力问题）求：（1）斜面上应力，的表达式（2）最大主应力，最小主应力及此时斜面的方向余弦。解：（1）由力的平衡知（设厚度为t）..........①..........②又......③由①③知........④由②知.......⑤④+⑤知整理得

4、........⑥④-⑤整理得：.......⑦（2）由⑥知：∴.........⑧⑧式中，为的函数，对⑧式两边进行求导，并令可得：........⑨对⑦式进行化简可得........⑩⑨代入⑩中可得，即在所在斜面上确定得正应力即最大或最小主应力。由⑧化简：.........（11）由⑨知两边平面化简可得.........（12）由⑨还知：........（13）（12）、（13）代入（11）可得时的：∴最大主应力最小主应力由⑨式知∴∴五、分别就下列情形，写出所有基本方程（分量形式，指标形式），各基本变量（分量形式、指标形式及对应关系）。（

5、1）1D情形（2）2D情形（3）3D情形解：1D情形a、基本变量分量形式：；；指标形式：；；（）对应关系：；；b、基本方程分量形式：（体积力）指标形式（）（2）2D情形a、基本变量分量形式、、、、指标形式（1，2）（＝1，2）（＝1，2）对应关系，，，b、基本方程分量形式几何变形方程材料物理方程或指标形式：力平衡方程几何变形方程材料物理方程或（3）3D情形a、基本变量分量形式指标形式对应关系：，，，，，，，，，，，b、基本方程分量形式力平衡方程几何变形方程材料的物理方程指标形式力平衡方程几何变形方程材料物理方程或（）六、分别给出平面应力平面

6、应变状态下的前提条件及表达式，推导两种情况下的物理方程，以及它们之间转换关系。解：①前提条件:1.平面应力：设有很薄的厚度薄板，所受力在（xoy）平面且不随之变化，则在板内外表面有：，，由于板很薄：可以近似认为在整个板内外有：，＝0，＝0所有力学变量都是，函数，不随变化即，，（）基本变量为、，、、，、、2.平面应变：设有一根无限长等截面柱形体，所承受外载不随变化，任一截面都为对称面，则有：，＝0，，所有变量都是、的函数，不随变化。则，，（）基本变量为：、，、、，、、②表达式平面应力和平面应变的平衡方程和几何方程一样，均为：平衡方程几何方程物

7、理方程：（a）平面应力：由已知条件知，由3D物理方程组知解得（b）平面应变由已知条件已知，由3D物理方程组知同理即（c）两者之间的关系比较平面应力和平面应变的物理方程可以看出，若将平面应力问题物理方程中的换成，换成，则可得到平面应变问题的物理方程。七、一立方块放在同样大小的刚性盒内，上面用刚性盖密封后均匀压力为q，方块与盒盖之间无摩擦力，设施力方向为z轴，盒的侧面方向为x轴和y轴，求方块的应力，，和应变。设立方块的弹性模量为，泊松比为。由已知条件知立方块在刚性的盒内，在x,y两方向不会产生位移。即应变。由物理方程知：BC(p)：解以上关系可

8、得八、证明1、受纯剪单元体应变能为证明2、指标形式下与分量形式下应变能计算公式的对用关系为证明3、纯弯梁应变能的表达式为：证明1：对于受纯剪单元体情形下的应力分量如图8.1所示。