自主招生试题选讲反证法

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1、反证法班级：________姓名：_______1.(09北大)是否存在实数x，使得tanx3与cotx3均为有理数.证明：假设存在这样的实数x，使得tanx3与cotx3均为有理数.设tanxm3，cotxn3，(,mnQ)，tancotxx(m3)(n3)1则mn(mn)331因此(mn)3mn2Qm2m2所以mn0,mn20，或，与mn,为有理数n2n2矛盾.假设不成立，所以不存在这样的实数x，使得tanx3与cotx3均

2、为有理数.2.（08清华）已知abc,,都是有理数，abc也是有理数，证明：a,b,c都是有理数.证明：假设a,b,c不都是有理数，不妨设c为有无理数，记abcxxQ()则abxcQ2两边平方得：ab2abx2xcc，12则abxc(xcab)Q，记abxcyyQ()2则abyxc2222两边平方得：aby2xycxc，则2xycxcyabQ因此xy0.①若x0，则必有abc0.与假设矛盾.1②若x0,则y0，abxc0，则ab0,

3、c0，与假设矛盾.因此假设不成立，所以a,b,c都是有理数.3.(08清华)一个四面体，证明：至少存在一个顶点，从其出发的三条棱组成一个三角形.A证明：不妨设AB是六条棱中最长的；则必有DADBAB，CBCAABBD如果不存在顶点，从其出发的三条棱组成三角形；C则CADAAB，DBCBAB，则CADADBCB2AB，与DADBCBCA2AB相矛盾.因此假设不成立.104.（12北大保送）已知aaa1,2,3,，a10均为正实数，且满足ak30，k110ak21，求证：aa

4、a1,2,3,，a10中必有一个数在(,)01之间.k1证明：假设aaa,,,，a都大于等于1.12310n设bkak1，则bk0，且bk20k1n10(1bk)1b1b2bn21，与ak21矛盾，k1k1因此假设不成立,aaa,,,，a中必有一个数在(,)01之间.123102练习：(09清华)问x2px2q0,p、q是奇数时是否有有理数根，证明之.2