信号分析与处理第2版教学课件作者赵光宙第3节最优线性滤波课件

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1、第三节最优线性滤波如上所述，随机信号的分析与处理是建立在统计意义上进行的，如果要研究混杂在噪声中的随机信号，显然也只能建立在统计意义的基础上。可见，讨论从噪声背景中通过概率统计的方法，获取随机信号的统计特征，可以借用从噪声背景中获取确定性信号相同的概念，即“滤波”来描述，也可理解为波形的估计问题。但与确定性信号滤波的本质区别在于这里的“滤波”不是根据频谱特性实现信号与噪声的分离，而是通过一定的估计算法在一定的判据意义下使估计得到的随机信号特性最接近待估计随机信号的特性。如果估计算法是观测值的线性

2、函数，则称为线性滤波或线性估计，“最优”是指在一定判据的意义下达到最优，通常以最小均方误差作为判据。考虑如图6-7所示的估计问题，其中观察得到的信号中既含有随机信号，又含有噪声，经过处理器后得到估计值为，作为对所希望取得的信号的估计。要求y(t)与的差值在一定判据意义下最小，估计的任务就是根据以上要求设计出处理器，并求出估计值。图6-7线性估计模型根据待估计量的形式，估计问题可以分为三类：1．滤波问题：由一段时间的观察值()得出时刻随机信号的值，即2．预测问题：由一段时间的观察值()，估计出的某

3、一时刻待估计信号的可能值，即3．平滑问题：由一段时间的观察值()，估计期间内待估计信号的值，即一、维纳滤波维纳滤波首先假设信号和处理器满足以下三个条件：（1）中待估计的随机信号和噪声都是零均值的平稳随机信号，且是相加结合的，即（2）处理器的算法为线性运算，如果处理器的脉冲响应为，即有（3）所采用的判据为均方误差最小，即（6-111）（6-112）（6-113）（一）正交定理假设的估计值是观测值的线性函数，即式中、为待定常数，这时估计的均方误差为根据均方误差最小的判据来确定和。即令得这就是线性估计

4、的正交定理，式中为估计误差。（6-114）正交定理表明，为了使估计的均方误差最小，估计误差与观察值乘积的均值应为零，即这两个随机变量应是正交的。这时估计误差与估计值也正交，这是因为这里用到线性最小均方误差估计是无偏估计的概念（可参见有关书籍）。由上面讨论，还可以得到在这一估计下均方误差的计算式子（6-116）(6-117)（二）维纳-霍夫积分方程现在的问题是处理器为（6-112）式决定的线性运算，根据正交定理（6-115），有即时刻的估计误差与区间所有时刻的观察值正交。上式又可写成将（6-112

5、）式代入得即（6-118）式（6-118）称为维纳-霍夫积分方程，它给出了线性处理器应满足的条件。由式中可知，只要相关函数和已知，就可由该方程解出，进而估计值和均方误差也能计算出来：但是，问题是维纳-霍夫方程是一个积分方程，未必一定能解出解析解，而且即使解出也未必是物理可实现的。因此，下面只对几个具体情况作进一步讨论。（三）非因果维纳滤波器滤波问题是用时刻以前的全部观察值来估计时刻的信号值，即，这样，维纳-霍夫积分方程（6-118）式变为令，作变量置换，上式变为或写为此时（6-119）（6-12

6、0）因为现在考虑非因果情况，可以把观察时间的上限扩展到+，即利用在全时间轴上的信息来进行估计，此时式（6-119）可写为等式右边是卷积形式，对上式作傅立叶变换得或[例6－9]设一功率谱为的信号与功率谱为1的白噪声统计独立，试设计维纳滤波器，以得到信号的最优估计。（6-121）解：因为和统计独立，则有由式（6-121），维纳滤波器的频率特性为求其傅立叶反变换，即可得冲激响应为对离散时间的情况，维纳-霍夫方程可写为同样由于考虑非因果情况，上式可写为因此滤波器的频率特性为此时的最小均方误差为（6-12

7、2）（6-123）（6-124）（四）因果维纳滤波器非因果维纳滤波器需要用全部时间轴上的观察值来估计随机信号，所以不能实时地实现，如果限制用最近的个观察来估计，即处理器运算限制为由正交定理得即令，上式变为写成矩阵形式，即为式中，是待求的维纳滤波因子；是互相关函数矢量；（6-125）是自相关函数阵。式（6-125）为离散时间情况的维纳－霍夫方程，也称正规方程，只要是非奇异的，就可求得这时的最小均方误差为注意到自相关函数的偶函数特性（见式6－29）自相关矩阵是对称的，每一对角线上的各元素都相等（称为

8、Toplize矩阵）的矩阵（6-127）二.卡尔曼滤波维纳滤波可实现平稳随机信号的最优滤波（波形估计），对于非平稳随机信号则不适用；另一方面，维纳滤波在估计时刻的信号值时，要利用以前的所有历史观测值，影响处理的实时性。卡尔曼滤波是对线性最小均方误差滤波的另一种处理方法，它采用的递推算法利用了前一时刻的估计值和新的观测值，大大提高了处理的实时性，同时也能自动跟踪随机信号统计特性的非平稳变化，因此得到了广泛的应用。（一）纯量情况1．问题的提法信号表示为其中，为自回归系数，为零均值的白噪声。观测值是信