信号分析与处理第2版教学课件作者赵光宙第2节随机信号通过线性系统的课件

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1、第二节随机信号通过线性系统的分析在实际工程应用中，需要对信号进行采集、存储、变换、传输和处理，因此有必要研究随机信号通过各类系统后发生的变化。由于输入是随机信号，输出也是随机信号，因此，不能像输入是确定性信号那样得出其确定的输出响应，只能根据输入随机信号的统计特性以及随机信号所通过的系统的特性，确定出输出随机信号的统计特性。本节主要讨论平稳随机信号通过线性时不变系统后输出信号的统计特性以及系统输入输出之间的关系。一般地，随机信号通过线性系统时，有两种情况需要分析：1、平稳情况（稳态）。如果输入是平稳随机信号，系统是线性时不变且稳定的，则当系统完成过渡过程进入稳态后，输出也应该是平稳的随机

2、过程，这时分析的任务应该是求取输出信号的均值、自相关函数、功率谱密度以及输入、输出信号间的互相关函数、互谱密度等。2、非平稳情况（暂态）。即讨论系统进入稳态前的过渡过程，这时输出一般是非平稳的，分析的任务应该是求取输出信号的数字特征和相关函数。值得注意的是，这时它们应该是时间t的函数（数字特征）或时间和的函数（相关函数）。对于稳定的系统，时它们应等同于第一种情况，对于不稳定的系统，由于输出信号永远不会进入平稳状态，所以只能按过渡过程分析。一、平稳随机信号通过连续系统（一）系统响应的时域分析已知一物理可实现线性时不变系统，设它的单位冲激响应为。当时，输入随机信号有界，则其输出零状态响应的表

3、示式为如果输入信号是平稳的，则系统响应也是平稳的。1.输出的均值设系统输入随机信号的均值为，则（6-69）因为为平稳随机信号，为常数，故输出均值为且由于，于是有可见输出的均值也是与t无关的常数。同理，可得（6-70）（6-71）可见系统响应的均方值与输入随机信号的自相关函数、系统的结构及参数有关，为一常数。1.输出的自相关函数根据自相关函数的定义，有（6-73）因为为平稳随机信号，故上式可写成式（6-75）说明系统输出的自相关函数是输入信号自相关函数与系统冲激响应的双重卷积的结果。同时也表明若输入随机信号是广义平稳的，则系统输出也是广义平稳的。（6-74）（6-75）3.输入与输出之间的

4、互相关函数根据互相关函数的定义，有对于平稳随信号，则有及（6-76）（二）系统响应的频域分析如上节所述，随机信号是功率信号，各样本函数不存在傅立叶变换，所以不能直接利用傅立叶变换分析的方法。但是当系统的输入、输出均为平稳随机信号时，可以通过维纳-辛钦公式，求取功率谱密度函数。1．系统输出的功率谱密度对于输入为平稳随机信号X(t)的情况，其功率谱密度为输出Y(t)也应是平稳随机信号，它的功率谱密度应为（6-79）将式（6－74）的代入上式，有令进行变量置换，则，故有（6-80）（6-81）上式表明，系统输出的自功率谱等于输入功率谱与系统幅频特性函数平方的乘积。所以可以由系统的幅频特性与输入

5、功率谱来确定输出功率谱。可见，系统的功率传输能力仅与系统的幅频特性有关，而与系统的相频特性无关。2．系统输入与输出之间的互功率谱密度将式（6－77）两边取傅立叶变换，并利用傅立叶变换的时域卷积性质，得到（6-82）[例6－5]如图6－4所示，已知系统输入信号x(t)是零均值的白噪声，功率谱，求系统输出信号y(t)的均值，自相关函数，功率谱密度，及平均功率。解：由图6－4，可求出系统的频率特性图6－4例6－5的系统其中T=RC，由式（6－81），y(t)的功率谱密度为查表2－2，可得y(t)的自相关函数又由式（6－61），得y(t)的均值由式（6－60），得y(t)的平均功率二、平稳随机信

6、号通过离散系统随机序列通过离散系统的分析，与连续时间随机信号通过连续系统对输出统计特征的分析计算类似，可以采用时域分析与频域分析两种方法。（一）时域分析设已知线性时不变离散系统的单位脉冲响应为在范围内输入随机序列,又设是通过该系统的输出序列，则输出随机序列为与的卷积和，即（6-83）由于输入的是随机信号，输出一般也是随机信号。1.输出的均值输出序列的均值通过（6-83）式计算，即若为平稳随机序列，则为常数，故有2．输出的自相关函数（6-84）（6-85）（6-86）若为平稳随机序列，则有上式说明，输出随机信号的自相关函数只与时间差m有关。实际上，对于线性时不变系统而言，如果输入随机信号是

7、平稳的，输出随机信号也是平稳的，故其概率特性是时不变的，自相关函数只与时间差有关。当m=0时，有（6-87）（6-88）3．输出与输入之间的互相关函数根据互相关函数定义有若为平稳随机序列，则有（6-89）（6-90）（6-91）（二）频域分析类似于连续系统的情况，当平稳随机序列通过线性时不变离散系统时，输出仍然是平稳随机序列，其功率谱密度函数为表明输出的功率谱密度函数为输入功率谱密度函数与系统幅频特性函数平方的乘积。而输入输出间的互