浅谈用反证法证题的常见题型

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1、2007年第46卷第9期数学通报浅谈用反证法证题的常见题型徐加生纪健(江苏省金湖县教师进修学校211600浙江省金湖中学211600)6反证法是从要证明的结论的否定出发并以此---则由已知b=al。&b，所以10氏ba因为a，be为重要的“附加条件”，根据有关的定义、公理和给出命题的条件进行推理，直到得出矛盾，从而判定(0，1)，函数y=fo‘x为减函数，又a>b，故10‘b>b而命题结论的否定不成立，即肯定命题结论.作为中10&a=1，-<1与10‘b一夸矛盾，同理可证a学数学中的重要解题方法，反证法有着广泛的运

2、几类命题通常更为适合，请看题例.、例4求证:方程x=qsinx+a(0

3、a，b，‘都不大于0，即a(Q，b簇。，丑于丑}，所以}x:一几}=Zq}cos。镇0，则有a+b+‘(0，而a+b+‘=(扩一Zy+sin三母三兰1<2、，cos三宁兰1·户涪丑}，晋，+‘少一“2+晋，+(扩一Zx+晋，一‘x一‘，，。，l一.xl+x，._+(夕一1户+(2一1)2+二一3，因为二一3>0且无则有qlcos丝十丝1>1，尸，’刁，‘一一2“一’论x，y，2为何实数(x一1)’+(y一1)’+(z一1)’妻。。，一，。.:.xl+x，._1、，‘。因0止>1这是0，所以a+b+‘>0，这与a+b+‘(

4、0矛盾，因此一一~，、一’乃动’一2’/q产一~~假设不成立，a，b，‘中至少有一个大于0.不可能的，故假设不成立，即方程有唯一解.例2设实系数二次方程二2+2阮十1=3否定型命题0①二2+Zdx+1=0②已知2侧=‘+a.通过否定给出命题，将原来的否定性命题转化求证:方程①②中至少有一个方程有实根.为肯定命题，再加以利用，找出矛盾.证明假设①②都无实根，则有△1=4夕一4a例5已知p，q是奇数.求证:方程xZ+Px+q<0且△:二4矛一4。<0，二式相加得4梦+4矛一二0没有整数根.4a一4c<0。因为2配=c+a，所以4扩十4矛一8耐证明假设方程扩+

5、娜+q=0有整数根x:，<。，即(b一d)’<。.这是不可能的，因此假设不成xz，则由根与系数的关系知立，即方程①②中至少有一个方程有实根.p=一(x:+两)①2唯一型命题q，xl.为②以否定唯一性为条件，得出反面结论，再用枚因为q为奇数，由⑧知xl，赴均为奇数，所以xl举法逐一否定各个反面结论，从而肯定结论.+xz为偶数，所以P为偶数，这与条件P为奇数矛例3设a，b任(0，1)，a6=扩，求证:a=反盾，所以命题成立.证明假设a并b，则a>b或ab，例6如图，已知尸在平面A刀C外沼A护尸B，万方数据数学通报2007年第46卷第9期课本上一道

6、切线问题的推广邱继勇(北京市日坛中学光华路校区100020)人教版《解析几何》第126页第19题:经过笔者研究发现，这里“FN土1于点N”的从抛物线的焦点向它的任意一条切线引垂线，条件是“虚晃一枪”，实质上，点N是“抛物线两条切求证这条垂线和准线的交点，在过切点且平行于对线(切线1与过顶点的切线—y轴)的交点”，利用称轴的直线上.一般化和类比的方法，原题可以推广为更一般、更我们将它翻译成符号语言和图形语言，如图广泛的形式.(1)。推广1如图(2)设直线1是过抛物线点E(m，0，)(二笋0)是犷=2批(P>0)上一点.、抛物线c:犷=2娜(p>尸的切线，过

7、该抛物线焦)对称轴上的一个定点F的直线FN土1于点点，直线2是过C上任意一N，与抛物线的准线交于点尸(与，yo)(x笋一m)的点从求证:直线人公J平一条切线，1与y轴交于行于工轴.点N，直线EN与直线x原题证明比较简单，=一m的交点为M，则直图(2)这里略去.线凡护与x轴平行.图(1)证明如图(2)，口才是AB边上的中线，Zsina矛盾，综合之有a<夕成立.尸N土月B.求证二〔五叮和5存在型命题PN是异面直线.若命题的结论是关于“存在”或“不存在”的，由证明假设〔五丁和“不存在”产生矛盾，可证“存在”，由“存在”推出矛PN共面，则存在两种情盾可证“不

8、存在，’.况:(1)若M与N重合，，:_。、__二，。扩铲，“、、、例8已知双曲