分段函数的常见题型与解法(广东用)

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1、WORD格式可下载分段函数的常见题型及解法分段函数;定义域;值域或最值;函数值;解析式;图像;奇偶性;方程;不等式.1．求分段函数的定义域和值域2．求分段函数的函数值3．求分段函数的最值4．求分段函数的解析式5．作分段函数的图像7．判断分段函数的奇偶性8．判断分段函数的单调性9．解分段函数的方程10．解分段函数的不等式1．求分段函数的定义域和值域例1．求函数的定义域、值域.【解析】作图,利用“数形结合”易知的定义域为,值域为.专业技术资料整理WORD格式可下载_2_x3yxO..练习．已知f（x）是定义在∪

2、上的奇函数，当时，f（x）的图象如右图所示，那么f（x）的值域是．2．求分段函数的函数值1、设，则的值为（）A.B.C.D.2、给出函数，则（）A.B.C.D.3．求分段函数的最值例4　求函数的最大值方法1　先求每个分段区间上的最值，后比较求值。当≤0时,==2+3,此时显然有maX==3;当0<≤1时，==+3,此时max==4当>1时，==－+5，此时无最大值.比较可得当=1时,max=4.方法2利用函数的单调性Y4321012345x由函数解析式可知，在∈(∞,0)上是单调递增的，在∈(0,1)上也是

3、递增的，而在∈(1,+∞)上是递减的，专业技术资料整理WORD格式可下载由的连续性可知当=1时有最大值4方法3　利用图像，数形结合求得作函数=的图像（图1），显然当=1时max=4.说明：分段函数的最值常用以上三种方法求得.例3．求函数的最大值.【解析】当时,,当时,,当时,,综上有.4．求分段函数的解析式例　已知奇函数f（x）(x∈R)，当x>0时，f（x）=x(5－x)+1.求f（x）在R上的表达式。解　∵f（x）是定义域在R上的奇函数，∴f（0）=0.又当＜0时，－>0,故有f（－x）=－x[5－(－

4、x)]+1=－x(5+x)+1。再由f（x）是奇函数,f（x）=－f（－x）=(5+)－1.∴练习1某市居民自来水收费标准如下：每户每月用水不超过4吨时，每吨为1.80元，当居民用水超过4吨时，超过部分每吨3.00元。若某月某用户用水量为x吨，交水费为y元。（1）求y关于x的函数关系（2）若某用户某月交水费为31.2元，求该用户该月的用水量。专业技术资料整理WORD格式可下载2如图，动点从单位正方形顶点开始，顺次经、绕边界一周，当表示点的行程，表示之长时，求关于的解析式，并求的值．3等腰梯形的两底分别为，，

5、，作直线交于，交折线于，记，试将梯形位于直线左侧的面积表示为的函数，并写出函数的定义域.5．作分段函数的图像1．已知函数（1）在图5给定的直角坐标系内画出的图象；（2）写出的单调递增区间．图5专业技术资料整理WORD格式可下载6．求分段函数得反函数例6已知是定义在上的奇函数,且当时,,设得反函数为,求的表达式.【解析】设,则,所以,又因为是定义在上的奇函数,所以,且,所以,因此,从而可得.7．判断分段函数的奇偶性例1．判断函数的奇偶性.【解析】当时,,,当时,,当,,因此,对于任意都有,所以为偶函数.练习

6、．已知函数．（1）判断并证明函数的奇偶性；专业技术资料整理WORD格式可下载（2）判断函数在上的单调性并加以证明．8．判断分段函数的单调性例．写出函数的单调减区间.【解析】,画图易知单调减区间为.练习．已知函数若在上单调递增，则实数的取值范围为A．B．C．D．9．解分段函数的方程例10．（01年上海）设函数,则满足方程的的值为【解析】若,则,得,所以（舍去）,若,则,解得,所以即为所求.练习1已知，若，则．2．已知函数若，则实数的值等于A．1　B．2　C．3　　D．43．已知函数则函数的零点个数为A．1B．

7、2C．3D．4专业技术资料整理WORD格式可下载10．解分段函数的不等式例．设函数,若,则得取值范围是（）【解析1】因为,当时,,解得,当时,,解得,综上的取值范围是.故选D.【解析2】首先画出和的大致图像,易知时,所对应的的取值范围是.专业技术资料整理WORD格式可下载例12．设函数,则使得的自变量的取值范围为（）A．B.C.D.【解析】当时,,所以,当时,,所以,综上所述,或,故选A项.【点评：】以上分段函数性质的考查中,不难得到一种解题的重要途径,若能画出其大致图像,定义域、值域、最值、单调性、奇偶性

8、等问题就会迎刃而解,方程、不等式等可用数形结合思想、等价转化思想、分类讨论思想及函数思想来解,使问题得到大大简化,效果明显.7、设函数，若，则关于的方程的解的个数为（）A．1B．2C．3D．4例8．判断函数的单调性.【解析】显然连续.当时,恒成立,所以是单调递增函数,专业技术资料整理WORD格式可下载当时,恒成立,也是单调递增函数,所以在上是单调递增函数;或画图易知在上是单调递增函数.专业技术资料整理