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1、1998年第6期数学教学研究151试探,也往往可以找到解题方向.例5已知x=af(x)+bf()(x0、
2、a
3、xxy
4、b
5、、a0、b0),求f(x).例6已知x+y+z0,且y+z=a,z+x=分析题中的明显条件即对任意非零实数xzabcb,=c,求证:++=1.x+y1+a1+b1+c1都有x=af(x)+bf(x),因此,对于非零实数y,也分析探求这类题的解题途径,往往只注意抓1111xyz应有y=af(y)+bf(),令y
6、=,则=af()大条件:=a、=b、=c,而忽视yxxxy+zz+xx+y+bf(x).弄清了已知条件的这个等价说法,就可以小条件:x+y+z0.为什么要规定x+y+z0作等价转换,题目便迎刃而解了.事实上,通过解方呢?1猜想:可能分母中要出现x+y+z.怎样才能x=af(x)+bf(),xax2-b程组可得f(x)=22.使分母中出现x+y+z呢?联想到合比定理,立得11a-b=af()+bf(x),xaybzxx=,=,=x+y+z1+ax+y+z1+bx+y+z6细究多余条件cabc
7、解题时,抓住问题中的多余条件,进行追踪、1+c,故1+a+1+b+1+c=1.活用化归方法提高解题能力朱玉华(甘肃省兰州市外国语学校730030)x+yx+y77x+y7化归方法是一种重要的思维方法,其特点是根23=236=6据事物内部固有的本质联系和运动变化规律,将新x-yy-x33y-x323=()=222问题转化为已有的解决方法和程序,运用已知的理x+y=7x=3,论和方法,使新问题得到解决.化归方法具有广泛地y-x=1y=4.1适用性,在数学学习和研究中起着十分
8、重要的作用,2化归简单法教学中若能适时渗透和总结化归思想,必将提高学抓住问题的本质及内在联系,通过对条件或结生的认识水平和解决问题的能力.论进行转化、变形,将复杂的问题化归为简单的问下面结合教学实践,分别用实例说明九种常用题,从而使问题易于解决.2的化归方法.例2已知二次方程ax+2(2a-1)x+4a-71化归熟悉法=0中a为正整数,问a为何值时此方程至少有一根据熟悉化原则,在熟练掌握基本知识和技能个整数根.的基础上,将题中不熟悉的内容和条件,转化为熟悉分析此题按常规解法需分析根是整数的情2x+7
9、的内容和条件,用已有的知识、经验和方法寻找解决况,难以下手.若先将方程变形为a=2,由a(x+2)问题的思路.为正整数,从而将问题化归为在整数范围内解不等xy23=648,2x+7例1解方程组式21.于是可解得x=-3,-1,0,1.此时 3x2y=432.(x+2)分析不同底数幂的指数方程不熟悉,需要化对应的a的值为1,5,7,1.故a=1或a=5.4归为熟悉的同底数幂指数方程.原方程组可化为3化归和谐法xy3423=23,将问题的表现形式化归为更加符合数学内部固xy4332=23
10、.有的和谐统一的特点,使问题的本质逐步显现出来,两式相乘、相除,得同解方程组从而使问题得到解决.16数学教学研究1998年第6期AA6分割化归法ctg-csc42例3在ABC中,证明=把一个复杂的问题,分割成几个熟悉或规范的BCctg2+ctg2问题,通过局部问题的解决来带动整个问题的解决.b+c-a例6设a、b、c都是非负实数,求证:.2a222222a+b+b+c+a+c2(a+b+c).分析在等式左边是关于三角形角的关系,右
11、分析要证明该不等式成立,只须证明边是关于三角形边的关系,不和谐,需向和谐统一化222222归.a+b(a+b),b+c(b+c),22(2cos2ABC2-1)sinsin2222422a+c(a+c)即可.由不等式a+b左边=2ABCsinsin+这个(a+b)2222,知a、b、c0时,上述三个不等式均成立,2ABCcossinsin222问题迅速获证.=sinAcosA7分割逼近化归法22许多等式或不等式的证明需要对等式或不等式BCA4sinsincos222的两边同时分割
12、逼近后,使问题化归为简单的数量=22sinAcosA关系而得证.22例7设a,b是任意实数,证明:sinB+sinC-sinAb+c-a===右边.a22sinA2a65ba+1-b+.4化归典型法36+163将一般性问题化归为个别典型问题,典型问题分析不等式两边无直接联系,需分割逼近化解决了,一般问题也得到解决.归为直接或接近的数量对比关系.2n6a11例4求(1+x+x)展开式中x的偶数次
