关节十七：图形的分割与剪拼

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1、关节十七图形的分割与剪拼纵观近年来全国各地的中考试卷，图形操作型的问题渐多，而这些题又可分为两大类：一类是围绕“图形变换”展开的（我们已有专题论及），另一类是围绕图形的分割与剪拼展开的。我们现在要研究的，就是这后边的一类，分割与剪拼的形式与依据主要有：Ⅰ、原图形基础上进行分割，而分割的要求又分为：（1）借助于“边、角”计算的分割；（2）依“面积等分”为要求的分割；Ⅱ、将原图形等面积地变化成新图形的“剪与拼”。一、图形的分割1、借助于“边、角”计算的分割例1（1）已知ABC中，A90,B67.5，请画一条直线

2、，把这个三角形分割成两个等腰三角形。（2）已知ABC中，C是其最小的内角，过顶点B的一条直线把这个三角形分割成了两个等腰三角形，请探求ABC与C之间的关系。A【观察与思考】对于（1）只需“构造等角”；对于（2），（1）可从“等边”推演角之间的关系。C解：（1）如图①，图②，有两种不同的分割法。A（2）设ABCy，Cx，过顶点B的直线①67.522.5交边AC于D。在等腰三角形DBC中，67.522.5BC①若C是顶角，如图③，则ADB90，11CBDCDB(180x)90

3、x,22AA180xy。②4545122.522.5此时只能有AABD，即180xyy(90x)，2BC3x4y540，即ABC与C的关系是：A3ABC135C。4D②若C是底角，则有两种情况。③C第一种情况：如图④，当DBDC时，则DBCx，BABD中，ADB2x,ABDyx。ADⅠ、由ABAD，得2xyx，此时有y3x，即有关系ABC3C。④Ⅱ、由ABBD，得180xy2x，此时3xy180，CB即ABC

4、1803C。AⅢ、由ADBD，得180xyyx，此时y90，即ABC90，C为小于45°的任意锐角。D⑤第二种情况，如图⑤，当BDBC时，BDCx,ADB180x90，BC此时只能有ADBD，1从而AABDCC，这与题设C是最小角矛盾。2当C是底角时，BDBC不成立。【说明】本题是通过特定的分割推导角之间的特殊关系。例2如图（1），在ABC和DEF中，AD90，ABDE3,AC2DF4。（1）判断这两个三角形是否相似？并说明为什

5、么？（2）能否分别过A,D在这两个三角形中各作一条辅助线，使ABC分割成的两个三角形与DEF分割成的两个三角形分别对应相似？证明你的结论。ADEFBC（1）ABAC【观察与思考】对于（1），只需算出即可。DEDF对于（2），可沿着“若有两个角对应相等，则两三角形相似”去作适当的辅助线。解：（1）不相似。RtBAC中A90,AB3,AC4；在RtEDF中，D90,DE3,DF2，ABACABAC1,2。，RtBAC与RtEDF不相似。DEDFDEDF（2）能分割成两个分别相似的

6、三角形，作如图（1`）所示的辅助线进行分割。具体操作：作BAME，交BC于M；作NDEB，交EF于N。由作法和已知条件可知BAMDEN。ABAME，NDEB，AMCBAMB，FNDENDE，BAMCFND。MCFDN90NDE，C90B,FDNC。（1`）DAMC∽FND。ENF【说明】本题是从构造等角出发构造相似三角形，这一方法被普遍采用。例3现有一张长和宽之比为2：1的长方形纸片，将它折两次（第一次折后也可打开铺平再折第二

7、次），使得折痕将纸片分为面积相等且不重叠的四个部分（称为一个操作）。如图甲（虚线表示折痕）。除图甲外，请你再给出三个不同的操作（规定：一个操作得到的四个图形，和另一个操作得到的四个图形，如果能够“配对”得到四组全等的图形，那么就认为是相同的操作。如图乙和图甲是相同的操作）。（甲）（乙）解：答案例举如下：【说明】由本题的解法可以看出：要得到面积相等的图形，一可以构造“全等图形”，二可以由面积公式出发。例4如图（1）所示的L形铁皮，工人师傅想用一条直线将其分成面积相等的两部分。请你帮工人师傅设计三种不同的分割方案（画出示意图

8、）。【观察与思考】L形铁皮可以看成由两个正方形相割而成，又2可以看成由一个矩形和一个正方形拼合而成，应充分利用正方（1）2形的轴对称性和矩形与正方形的中心对称性，因为“轴对称”4和“中心对称”的两个图形面积都是相等的。解：如图（1），（2），（3）。4（1）（2）（3）【说明】在本题，恰当地运用了基本图形的轴对称性质