图形的折叠、剪拼与分割

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1、图形的折叠、剪拼与分割！第二十七讲　图形的折叠、剪拼与分割　一页普通的纸，童年时我们用稚气的双手把它折成有趣的动物，民间艺人可以把它剪成美丽的图案．折纸与剪纸是最富于自然情趣而又形象生动的实验，是丰富想象力与心灵手巧的结合．　对图形进行折叠与剪拼，是学习几何不可或缺的重要一环，通过折叠与剪拼图形，我们可以发现一些几何结论并知晓这些结论是怎样被证明的．　把图形或部分沿某直线翻折叫图形的折叠，对图形通过有限次的剪裁再重新拼接成新的图形叫图形的剪拼．解与图形折叠或剪拼相关的问题，利用不变量解题是关键，在折叠过程中，线段的长度、角的度数保持不变；在剪拼过程中，新图形与原图形的面积一般

2、保持不变．例题求解【例1】如图，有一块直角三角形纸片，两直角边AC=6㎝，BC=8㎝，现将直角边AC沿直线AD折叠，使它落在斜边AB上，且与AE重合，则CD等于　　．　(南通市中考题)　思路点拨设CD=x，由折叠的性质实现等量转换，将条件集中到Rt△BDE中，建立x的方程．注图形折叠与剪拼问题可考壹我们的动手操作能力和分析推理能力，解题时需要把计算、推理与合情想象结合起来．　折叠问题可以对称观点认识：　(1)折痕两边是全等的；　(2)对应点连线被折痕垂直平分．解折叠问题常用到勾股定理、相似形、方程思想等知识与方法．【例2】如图，在矩形ABCD中，AB=8，BC=4，将矩形沿A

3、C折叠，则重叠部分△AFC的面积为(　)A．12　D10　C．8　D．6　(2004年武汉市选拔赛试题)思路点拨只需求出AF长即可．【例3】取一张矩形的纸进行折叠，具体操作过程如下：　第一步：先把矩形ABCD对折，折痕为MN，如图1；　第二步：再把B点叠在折痕线MN上，折痕为AE，点B在MN上的对应点为B′，得Rt△AB'E，如图2；　第三步：沿EB'线折叠得折痕EF，如图3．　利用展开图4探究：　(1)△AEF是什么三角形?证明你的结论．　(2)对于任一矩形，按照上述方法是否都能折出这种三角形?请说明理由．　(山西省中考题)　思路点拨本例没有现成的结论，需经历实验、观察、猜

4、想、证明等数学活动，从而探究得到结论．　　【例4】如图，是从边长为40cm、宽为30cm的矩形钢板的左上角截取一块长为20cm、宽为10cm的矩形后，剩下的一块下脚料．工人师傅要将它作适当地切割，重新拼接后焊成一个面积与原下脚料的面积相等，接缝尽可能短的正方形工件．　(1)请根据上述要求，设计出将这块下脚料适当分割成三块或三块以上的两种不同的拼接方案(在图2和图3中分别画出切割时所沿的虚线，以及拼接后所得到的正方形，保留拼接的痕迹)；(2)比较(1)中的两种方案，哪种更好一些?说说你的看法和理由．（山东省中考题)思路点拨拼接后正方形的边长为㎝，它恰是以30cm和10cm为两直

5、角边的直角三角形的斜边的长，为此可考虑设法在原钢板上构造两直角边长分别为30㎝和l0cm的直角三角形，这是解本例的关键．　注有效的数学学习过程不能单纯地依赖模仿与记忆，应该通过观察、实验、操作、猜测、验证、推理等数学活动，形成自己对数学知识的理解和有效的学习策略，从而使知识得到内化，形成能力．　近年中考中涌现的设计新颖、富有创意的折叠、剪拼与分割等问题，注重对动手实践操作、应用意识、学习潜能的考查．　【例5】用10个边长分别为3，5，6，11，17，19，22，23，24，25的正方形，可以拼接成一个矩形．　(1)求这个矩形的长和宽；　(2)请画出拼接图．　思路点拨利用拼接前

6、后图形面积不变求矩形的长和宽；运用矩形对边相等这一性质画拼接图．　【例6】如图，已知△ABC中，∠B=∠C=30°，请设计三种不同的分法，将△ABC分割成四个三角形，使得其中两个是全等三角形，而另外两个是相似但不全等的直角三角形．请画出分割线段，标出能够说明分法的所得三角形的顶点和内角度数(或记号)．(画图工具不限，不要求证明，不要求写出画法)　　　(温州市中考题)思路点拨充分运用几何计算、推理和作图，综合运用动手操作、空间想象、解决问题．学力训练1．将一张长方形的纸对折，如图所示可得到一条折痕(图中虚线)，继续对折，对折时每次折痕与上次的折痕保持平行，连续对折三次后，可以得

7、到7条折痕，那么对折四次可以得到　　　条折痕，如果对折n次，可以得到　　　条折痕．(2002年南宁市中考题)2．一张直角三角形的纸片，像图中那样折叠，使两个锐角顶点A、B重合，若∠B=30°，AC=，则折痕DE的长等于　　　．(三明市中考题)3．如图，将一块长为12的正方形纸片ABCD的顶点A折至DC边上的点E，使DE＝5，折