中考高分十八个关节 关节17 图形分割与剪拼

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1、关节十七图形的分割与剪拼纵观近年来全国各地的中考试卷，图形操作型的问题渐多，而这些题又可分为两大类：一类是围绕“图形变换”展开的（我们已有专题论及），另一类是围绕图形的分割与剪拼展开的。我们现在要研究的，就是这后边的一类，分割与剪拼的形式与依据主要有：Ⅰ、原图形基础上进行分割，而分割的要求又分为：（1）借助于“边、角”计算的分割；（2）依“面积等分”为要求的分割；Ⅱ、将原图形等面积地变化成新图形的“剪与拼”。一、图形的分割1、借助于“边、角”计算的分割例1（1）已知中，，请画一条直线，把这个三角形分割成两个等腰三角形。AC（2）已知中，是其最小的内角，过顶点B的一

2、条直线把这个三角形分割成了两个等腰三角形，请探求与之间的关系。【观察与思考】对于（1）只需“构造等角”；对于（2），（1）可从“等边”推演角之间的关系。ABC解：（1）如图①，图②，有两种不同的分割法。（2）设，，过顶点B的直线①交边AC于D。在等腰三角形中，①若是顶角，如图③，则，ABC。②此时只能有，即，ABCD，即与的关系是：。②若是底角，则有两种情况。③第一种情况：如图④，当时，则，-13-ABCD中，。Ⅰ、由，得，此时有，即有关系。④Ⅱ、由，得，此时，即。ABCDⅢ、由，得，此时，即，为小于45°的任意锐角。⑤第二种情况，如图⑤，当时，，此时只能有，从而

3、，这与题设是最小角矛盾。当是底角时，不成立。【说明】本题是通过特定的分割推导角之间的特殊关系。例2如图（1），在和中，，。（1）判断这两个三角形是否相似？并说明为什么？（2）能否分别过在这两个三角形中各作一条辅助线，使分割成的两个三角形与分割成的两个三角形分别对应相似？证明你的结论。ABCDEF（1）【观察与思考】对于（1），只需算出即可。对于（2），可沿着“若有两个角对应相等，则两三角形相似”去作适当的辅助线。解：（1）不相似。中；在中，，。，与不相似。-13-（2）能分割成两个分别相似的三角形，作如图（1`）所示的辅助线进行分割。具体操作：作，交BC于；作，交

4、于。ABCM由作法和已知条件可知。，，，，。DEFN，。（1`）∽。【说明】本题是从构造等角出发构造相似三角形，这一方法被普遍采用。例3现有一张长和宽之比为2：1的长方形纸片，将它折两次（第一次折后也可打开铺平再折第二次），使得折痕将纸片分为面积相等且不重叠的四个部分（称为一个操作）。如图甲（虚线表示折痕）。除图甲外，请你再给出三个不同的操作（规定：一个操作得到的四个图形，和另一个操作得到的四个图形，如果能够“配对”得到四组全等的图形，那么就认为是相同的操作。如图乙和图甲是相同的操作）。（甲）（乙）解：答案例举如下：【说明】由本题的解法可以看出：要得到面积相等的图

5、形，一可以构造“全等图形”，二可以由面积公式出发。例4如图（1）所示的形铁皮，工人师傅想用一条直线将其分成面积相等的两部分。请你帮工人师傅设计三种不同的分割方案（画出示意图）。-13-2244【观察与思考】形铁皮可以看成由两个正方形相割而成，又可以看成由一个矩形和一个正方形拼合而成，应充分利用正方（1）形的轴对称性和矩形与正方形的中心对称性，因为“轴对称”和“中心对称”的两个图形面积都是相等的。解：如图（1），（2），（3）。（1）（2）（3）【说明】在本题，恰当地运用了基本图形的轴对称性质和中心对称性质。例5我们能把平分四边形面积的直线称为“好线”，利用下面的作

6、图，可以得到四边形的“好线”：在四边形中，取对角线的中点，连结，显然，折线能把四边形的面积平分，再过点作，交于，则直线即为一条“好线”。（如图（1）（1）试证明：确为一条“好线”；ABCDEMABCDEF（2）如图（2），若为四边形的一条“好线”，为上一点，请作出过的一条“好线”，并说明理由。（1）（2）【观察与思考】对于（1），只需证明即可，而这由很多容易得到。对于（2），其原理与的作法相同。解：（1）证明：是对角线的中点，。-13-ABCDEFHN。（2`）。是“好线”。（2）这样作：连结，作，交于。如图（2`），则直线为“好线”。理由如下：。。【说明】在本题

7、，主要借助了“等底等高的三角形面积相等”，这是对图形进行“等面积变形”的重要而常用的手段。二、将原图形剪拼成新图形例1下列各图中，沿着虚线将正方形剪成两部分，那么由这两部分既能拼成平行四边形，又能拼成三角形和梯形的是（）（中点）（中点）ABCD【观察与思考】图B中的两部分可拼成：IIIIIIIII平行四边形三角形梯形解：应选B。【说明】思考中可借助图形的“平移”、“旋转”，以及它们的结合。例2如图（1），现有两个边长之比为1：2的正方形与，已知点在同一直线上，且点重合，请你利用这两个正方形，通过裁割、平移、旋转的方法，拼出两个相似比为1；3的三角形。-13-ABC

8、D【观察与