b 第11章 动能定理

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1、工程力学北京理工大学理学院尚玫动力学两类应用问题第1类问题：已知动力学系统和输入，求输出（已知力，求运动）；第2类问题：已知动力学系统和输出，求输入（已知运动，求力）；另一类问题：已知输入和输出，求系统动力学性质--辨识问题。动力学普遍定理•动量（线动量）定理•动量矩（角动量）定理•动能定理•与学习物理学相关内容的关系以物理学相关内容的结论为基础，进行拓展质点系的动能定理•力系的功：功的定义；•动能的计算方法：质心在动能计算中的作用•质点系的动能定理•动能定理的应用§11.1力的功一、元功和有限功hhdrh1.元功d′W=F⋅dr=F⋅dsBτhhh(力F在微小的实位移hdr上作F的功。Fτ

2、为F在曲线切线方A向的投影，ds=dr)用直角坐标的分量表示：hhhhhhhhF=Fxi+Fyj+Fzkdr=dxi+dyj+dzkhhd′W=F⋅dr=Fxdx+Fydy+Fzdz2.有限功h元功:元功中微小位移dr为质点的实际位移hhd′W=F⋅dr=Fxdx+Fydy+Fzdz有限功:将实元功沿路径积分，得到有限功WddW=F⋅dr12∑∫iiLhhW=∫d'W=∫F⋅drABAB•力偶的功力偶仅在所作用刚体的微元转动上做功，而在刚体的平动上不做功。dθdW′=MdθMM、dθ二者方向一致时做正功，否则做负功。二、功的计算常见力之功常见力之功（1）重力的功重力的元功：d′W=−mgdz

3、1zh从位置1到位置2C重力作的有限功：2W=mghmg12（2）弹性力的功弹簧刚度系数k，原长l0伸长量λ=l−l0l1弹性力的元功：位置1ld′W=−kλdλ2从位置1到位置2，位置2弹性力作的有限功：F=k(l−l)t0=kλ1(22)W=kλ−λl12122任意位置λ1=l1−l0λ2=l2−l0例：质量为m的重物D，CAC＝BC，弹簧两端与DhAC、BC的中点相联，原mg1l=AC长，02试求当θ由变π为时π，重物D36AθB和弹性力所作的功。解：(1)重力功WP设D下降的高度为hππh=2l0(sin−sin)=(3−1)l036WP=mgh=mg(3−1)l0(2)弹性力功WC

4、FDλ1=0hmgπλ2=2lcos−l006AθB=(3−1)l0122W=k(λ−λ)F122122=−k(3−1)l022=−(2−3)kl0§11.2质点系的动能与刚体的动能质点系的动能与刚体的动能动能：质点系作机械运动而具有的能量动能完全决定于质点系的运动状态量－速度12质点的动能T=mv212质点系的动能T=∑mivi2例题已知椭圆规中，OC=AC=BC=l，曲柄ω＝常数滑块0m=m，滑块m=AB2m，不计OC与AB的质量，试求系统在任一瞬时的动能。解问题要点在于正确的运动分析。方法1，点的运动学方法(解析法)xB=2lcosωty=2lsinωtAx"B=−2lωsinω

5、ty"=2lωcosωtA解x"B=−2lωsinωty"=2lωcosωtA1212T=my"+mx"AABB221()2=m2lωcosωt+21()2⋅2m2lωsinωt222(2)=mlω1+sinωt解方法2平面运动方法（几何法）vvvcAB==l2lcosϕ2lsinϕ=ω=ωAB0v=2lωcosωtAv=2lωsinωtB二法结果相同例题已知块A的m，质点1B的m，AB=l，试2用q、q"表示系统动能。解N=2，q=(x,θ)1212T=mv+mv1A2B22=1mx"2+1m(l")2θ1222正确？解v=v+vBerv=x",vr=lθ"ev=(v+v

6、cosθ)i+(vsinθ)jBAxrr2()222v=v+vcosθ+vsinθBArr解2()222v=v+vcosθ+vsinθBArr1212T=mv+mv1A2B22121[()222]=mv+mv+vcosθ+vsinθ1A2Axrr22=1mx"2+1m[(x"+l")(2+l")2]θcosθθsinθ1222=1()m+mx"2+mlx""cos+1ml"2θθθ122222动能的计算速度分析是关键！刚体的动能刚体的动能•平动的动能12T=∑mivi21()2=∑mivC212=mvC2刚体的动能•定轴转动的动能12T=∑mivi2∑1()2=mrωii21()22=∑mr

7、ωii212=JωAB2刚体的动能•平面运动的动能12TJ=⋅ωp22J=+JmlpCvl=ωC1212T=mv+JωCC22刚体的动能小结：（运动学)平面运动→基点A（平移系）＋相对A（平移系）的转动（动力学）平面运动动能=基点C（平移系）动能＋相对C（平移系）动能。1212T=mv+JωCC22例题外接行星轮机构中，小轮在大轮上纯滚动。大轮R，小轮r、m，1曲柄ω、m。试计02算机构动能。解T=T+TOA